Coefficient binomial — wikipédia gasco abu dhabi email address

L’expression ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} du nombre de parties à k éléments, c’est-à-dire du nombre de k-combinaisons, dans un ensemble à n éléments se détermine en calculant de deux façons différentes le nombre de k- arrangements dans cet ensemble, à savoir A n k = n ! ( n − k ) ! = ( n k ) k ! {\displaystyle A_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}={n \choose k}k!}

La confrontation des deux calculs donne l’expression algébrique de ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} , pour k variant de 0 à n [1 ] : ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! (1) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\qquad {\mbox{(1)}}}

en particulier, ( n 0 ) = n ! 1 × n ! = 1 {\displaystyle \textstyle {n \choose 0}={\frac {n!}{1\times n!}}=1} (dans un ensemble à n {\displaystyle n} éléments, il y a exactement une partie à 0 élément : l’ ensemble vide) et de même, ( n n ) = n ! n ! × 1 = 1 {\displaystyle \textstyle {n \choose n}={\frac {n!}{n!\times 1}}=1} .

Exemple : Dans un ensemble à 4 éléments { a, b, c, d}, il y a ( 4 2 ) = 6 {\displaystyle \textstyle {4 \choose 2}=6} parties à deux éléments, à savoir : { a, b}, { a, c}, { a, d}, { b, c}, { b, d}, { c, d}. Propriété récursive des coefficients binomiaux d’entiers [ modifier | modifier le code ]

Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux : pour tout couple ( n , k ) {\displaystyle (n,k)} d’entiers naturels [2 ], ( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 1 k + 1 ) (2) {\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}\qquad {\mbox{(2)}}}

Les coefficients ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} pour k ∈ [ [ 0 ; n ] ] {\displaystyle k\in [\![0;n]\!]} figurent à la n {\displaystyle n} -ième ligne. Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. k se lit de gauche à droite sur la n-ième ligne en partant de 0 jusqu’à n. Utilisation des coefficients binomiaux [ modifier | modifier le code ] Développement du binôme de Newton [ modifier | modifier le code ]

Si p {\displaystyle p} est un nombre premier et p r {\displaystyle p^{r}} est la plus grande puissance de p {\displaystyle p} qui divise ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} , alors r {\displaystyle r} est égal au nombre d’entiers naturels j {\displaystyle j} tels que la partie fractionnaire de k p j {\displaystyle {\frac {k}{p^{j}}}\,} soit plus grande que la partie fractionnaire de n p j {\displaystyle {\frac {n}{p^{j}}}} . C’est le nombre de retenues dans l’addition de k {\displaystyle k} et n − k {\displaystyle n-k} , lorsque ces deux nombres sont écrits en base p {\displaystyle p} [5 ] , [6 ].

La règle permet de déterminer les ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} qui sont pairs. Il suffit pour cela de prendre p = 2 {\displaystyle p=2} et r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} . La soustraction de n {\displaystyle n} par k {\displaystyle k} nécessite donc au moins une retenue en binaire. Cela signifie que, dans le développement binaire de n {\displaystyle n} , il se trouve au moins un 0 situé au même rang qu’un 1 dans le développement binaire de k {\displaystyle k} .

À l’inverse, ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} est impair si, à chaque fois que k {\displaystyle k} possède un 1 dans son développement binaire, il en est de même de n {\displaystyle n} au même rang. On dit que k {\displaystyle k} implique n {\displaystyle n} . Par exemple, si n {\displaystyle n} est de la forme 2 p − 1 {\displaystyle 2^{p}-1} , tous ses chiffres binaires valent 1, et tous les ( n k ) {\displaystyle \textstyle {n \choose k}} seront impairs. Si n = 2 p {\displaystyle n=2^{p}} , alors n {\displaystyle n} possède un seul 1 dans son développement binaire, et seuls ( n 0 ) {\displaystyle \textstyle {n \choose 0}} et ( n n ) {\displaystyle \textstyle {n \choose n}} sont impairs, tous les autres sont pairs. Généralisations [ modifier | modifier le code ]

Tout d’abord, comme dit plus haut, l’interprétation combinatoire amène à poser conventionnellement ( n k ) = 0 {\displaystyle \textstyle {n \choose k}=0} pour n 0 ) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n}{k}}{n-1 \choose k-1}\qquad (k>0)} et plus généralement ( z k ) = z k ( z − 1 k − 1 ) ( 5 ) {\displaystyle {z \choose k}={\frac {z}{k}}{z-1 \choose k-1}\qquad (5)} .

En développant ( x + y ) n ( x + y ) m = ( x + y ) m + n {\displaystyle x+y)^{n}(x+y)^{m}=(x+y)^{m+n}\,} avec (3), on obtient l’ identité de Vandermonde : ∑ j = 0 r ( n j ) ( m r − j ) = ( n + m r ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{r}{n \choose j}{m \choose r-j}={n+m \choose r}} et plus généralement ∑ j = 0 r ( z j ) ( z ′ r − j ) = ( z + z ′ r ) ( 8 ) {\displaystyle \sum _{j=0}^{r}{z \choose j}{z’ \choose r-j}={z+z’ \choose r}\qquad (8)}

En développant ( x + y ) 2 n ( x − y ) 2 n = ( x 2 − y 2 ) 2 n {\displaystyle (x+y)^{2n}(x-y)^{2n}=(x^{2}-y^{2})^{2n}\,} et en observant le coefficient devant x 2 n y 2 n {\displaystyle x^{2n}y^{2n}\,} , on obtient ∑ k = 0 2 n ( − 1 ) k ( 2 n k ) 2 = ( − 1 ) n ( 2 n n ) ( 10 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{2n}(-1)^{k}{2n \choose k}^{2}=(-1)^{n}{2n \choose n}\qquad (10)} .

Cet analogue de l’identité de Vandermonde (8) peut se démontrer de la même façon, à partir de la formule du binôme négatif. Un cas particulier est (pour tous entiers r ≥ n ≥ 0) [8 ] : ∑ j = n r ( j n ) = ( r + 1 n + 1 ) {\displaystyle \sum _{j=n}^{r}{\binom {j}{n}}={\binom {r+1}{n+1}}} . Notes et références [ modifier | modifier le code ]