Composizione delle velocità – wikipedia electricity kwh to unit converter

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Nell’ambito della relatività galileiana, in cui si suppone che le velocità in gioco siano molto minori della velocità della luce, se un sistema di riferimento inerziale si muove con velocità v {\displaystyle \mathbf {v} } rispetto ad un secondo sistema, supposto fermo, un oggetto che si muove con velocità u {\displaystyle \mathbf {u} } nel sistema di riferimento in quiete possiede, nel sistema in moto, una velocità s {\displaystyle \mathbf {s} } data da:

La somma relativistica di due velocità v {\displaystyle \mathbf {v} } e u {\displaystyle \mathbf {u} } è data da: [1] w = v ⊕ u = v + u ∥ + α v u ⊥ 1 + v ⋅ u c 2 , {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} +\mathbf {u} _{\parallel }+\alpha _{\mathbf {v} }\mathbf {u} _{\perp }}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}},}

l’equazione assume la forma: [2] w = v ⊕ u = 1 1 + v ⋅ u c 2 { v + 1 γ v u + 1 c 2 γ v 1 + γ v ( v ⋅ u ) v } {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {v} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {v} }}}\mathbf {u} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{1+\gamma _{\mathbf {v} }}}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {v} \right\}}

( w 1 w 2 w 3 ) = 1 1 + v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 c 2 { [ 1 + 1 c 2 γ v 1 + γ v ( v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 ) ] ( v 1 v 2 v 3 ) + 1 γ v ( u 1 u 2 u 3 ) } {\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{1+\gamma _{\mathbf {v} }}}(v_{1}u_{1}+v_{2}u_{2}+v_{3}u_{3})\right]{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {v} }}}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}}

g y r [ u , v ] w = ⊖ ( u ⊕ v ) ⊕ ( u ⊕ ( v ⊕ w ) ) ∀ w {\displaystyle gyr[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))\quad \forall \mathbf {w} }

Se si considerano due sistemi K {\displaystyle K} e K ′ {\displaystyle K’} con gli assi allineati e in moto relativo rettilineo uniforme lungo l’asse x con velocità v = ( v x , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},0,0)} , detta velocità di trascinamento, per un oggetto che si muove con velocità u {\displaystyle \mathbf {u} } si ha che u {\displaystyle \mathbf {u} } e la velocità di trascinamento v {\displaystyle \mathbf {v} } di K ′ {\displaystyle K’} rispetto a K {\displaystyle K} si compongono per dare una velocità rispetto a K ′ {\displaystyle K’} secondo le seguenti formule:

{ u x ′ = u x − v 1 − v u x c 2 u y ′ = u y γ ( 1 − v u x c 2 ) u z ′ = u z γ ( 1 − v u x c 2 ) {\displaystyle {\begin{cases}{u’_{x}}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}\,\\{u’_{y}}={\frac {u_{y}}{\gamma (1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}})}}\,\\{u’_{z}}={\frac {u_{z}}{\gamma (1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}})}}\end{cases}}}

u → ′ = u → + [ ( γ − 1 ) u → ⋅ v → v 2 − γ ] v → γ ( 1 − u → ⋅ v → c 2 ) {\displaystyle {\vec {u}}’=\displaystyle {\frac {{\vec {u}}+\left[\left(\gamma -1\right)\displaystyle {\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{v^{2}}}-\gamma \right]{\vec {v}}}{\gamma \left(1-\displaystyle {\frac {{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}{c^{2}}}\right)}}} Derivazione dalle trasformazioni di Lorentz [ modifica | modifica wikitesto ]

{ u x ′ = d x ′ d t ′ = γ ( d x − v d t ) γ ( d t − v c 2 d x ) = u x − v 1 − v u x c 2 u y ′ = d y ′ d t ′ = d y γ ( d t − v c 2 d x ) = u y 1 − v 2 c 2 1 − v u x c 2 u z ′ = d z ′ d t ′ = d z γ ( d t − v c 2 d x ) = u z 1 − v 2 c 2 1 − v u x c 2 {\displaystyle {\begin{cases}{u’_{x}}={\frac {dx’}{dt’}}={\frac {\gamma (dx-vdt)}{\gamma (dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx)}}={\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}\,\\{u’_{y}}={\frac {dy’}{dt’}}={\frac {dy}{\gamma (dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx)}}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}\,\\{u’_{z}}={\frac {dz’}{dt’}}={\frac {dz}{\gamma (dt-{\frac {v}{c^{2}}}dx)}}={\frac {u_{z}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}{1-{\frac {vu_{x}}{c^{2}}}}}\end{cases}}} Rapidità [ modifica | modifica wikitesto ]

Un secondo metodo per calcolare la composizione relativistica delle velocità, basato sulle proprietà geometriche dello spazio di Minkowski, si ottiene definendo un fattore rapidità, correlato alla velocità v {\displaystyle v} dalla relazione:

Sia dato un sistema di riferimento inerziale S. Due astronauti A e B viaggiano lungo l’asse x con velocità v A = 2 3 c {\displaystyle v_{A}={\frac {2}{3}}c} e v B = − 2 3 c {\displaystyle v_{B}=-{\frac {2}{3}}c} , cioè opposte e uguali in modulo. Qual è la velocità dell’astronauta A visto nel sistema di riferimento S* solidale con l’astronauta B?

{ u x ′ = 2 3 c − ( − 2 3 c ) 1 − 1 c 2 ( − 2 3 c ) ( 2 3 c ) = 4 3 c 13 9 = 12 13 c u y ′ = 0 u z ′ = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{u’_{x}}={\frac {{\frac {2}{3}}c-(-{\frac {2}{3}}c)}{1-{\frac {1}{c^{2}}}{(-{\frac {2}{3}}c)({\frac {2}{3}}c)}}}={\frac {{\frac {4}{3}}c}{\frac {13}{9}}}={\frac {12}{13}}c\,\\{u’_{y}}=0\,\\{u’_{z}}=0\end{cases}}}