Ecuación de segundo grado – wikipedia, la enciclopedia libre ogasco abu dhabi

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Las ecuaciones de segundo grado y su solución de las ecuaciones se conocen desde la antigüedad. En Babilonia se conocieron algoritmos para resolverla. Fue encontrado independientemente en otros lugares del mundo. En Grecia, el matemático Diofanto de Alejandría aportó un procedimiento para resolver este tipo de ecuaciones (aunque su método sólo proporcionaba una de las soluciones, incluso en el caso de que las dos soluciones sean positivas). La primera solución completa la desarrolló el matemático Al-Juarismi (o Al-Khwarizmi según otras grafías), en el siglo IX en su trabajo Compendio de cálculo por reintegración y comparación, cerrando con ello un problema que se había perseguido durante siglos. Basándose en el trabajo de Al-Juarismi, el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, discute la solución de estas ecuaciones. [ cita requerida] Hay que esperar a Évariste Galois para conseguir resolver en general las ecuaciones polinómicas, o saber cuándo son irresolubles por radicales, que viene a ser una generalización de los métodos de resolución de las ecuaciones de segundo grado.

La primera gran dificultad pudo surgir en la solución de ecuaciones cuadráticas se dio con la ecuación x 2 − 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-2=0} en la época de los pitagóricos, al calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1 ya que no se podía expresar la raíz cuadrada de dos como razón de dos números enteros. [3 ]​

En el Renacimiento al resolver x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} que requiere hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, se superó con la adopción de números imaginarios y la definición de la unidad imaginaria i que cumple i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . [4 ]​ [5 ]​ Ecuación completa de segundo grado [ editar ]

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

■ Δ 0 {\displaystyle \Delta >0} : dos raíces reales distintas. En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con la letra griega Δ ( delta) en mayúscula: Δ = b 2 − 4 a c . {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac.\,}

Si − c a < 0 {\displaystyle {\frac {-c}{a}}<0} las raíces son imaginarias puras: x 1 = i c a {\displaystyle x_{1}=i{\sqrt {\frac {c}{a}}}} o x 2 = − i c a {\displaystyle x_{2}=-i{\sqrt {\frac {c}{a}}}} Solo el término de segundo grado [ editar ]

Con lo que nos queda: a u 2 + b u + c = 0 {\displaystyle {au^{2}}^{}+bu+c=0} El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula: u 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a , u 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle u_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad u_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones: x 1 = + u 1 {\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {u_{1}}}} x 2 = − u 1 {\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {u_{1}}}} x 3 = + u 2 {\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {u_{2}}}} x 4 = − u 2 {\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {u_{2}}}} Ecuación bicuadrada simétrica [ editar ]

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}\,} , podemos construir el binomio a partir de estas con: ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) = 0 {\displaystyle (x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0\,} x 2 − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=0\,} a x 2 − a ( x 1 + x 2 ) x + a x 1 x 2 = 0 {\displaystyle ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}=0\,} a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}