Energia potenziale gravitazionale – wikipedia electricity lesson plans 4th grade

dove G {\displaystyle G} è la costante gravitazionale, r → = r → 2 − r → 1 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1}} il vettore congiungente le due masse, e r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} il relativo versore. Poniamo per semplicità M nell’origine del sistema di riferimento, così che sia r → = r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{2}} , e calcoliamo il lavoro che un agente esterno deve compiere per spostare il corpo di massa m dal punto A al punto B, distanti dall’origine rispettivamente r A e r B:

L A B = ∫ A B − G M m r 2 r ^ ⋅ d s → = − G M m ∫ r A r B d r r 2 = − G M m r A + G M m r B ( r ^ ⋅ d s → = d r ) {\displaystyle L_{AB}=\int _{A}^{B}-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}=-GMm\int _{r_{A}}^{r_{B}}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}=-{\frac {GMm}{r_{A}}}+{\frac {GMm}{r_{B}}}\qquad \qquad \qquad \qquad (\,{\hat {r}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}=\mathrm {d} r\,)}

È fondamentale notare che il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni di partenza e arrivo del corpo, il che significa che siamo in presenza di un campo di forze conservative (essendo la forza centrale). In tal caso torna utile introdurre il concetto di Energia Potenziale Gravitazionale U {\displaystyle U} in base alla seguente definizione:

l’energia potenziale gravitazionale U A {\displaystyle U_{A}} rispetto a un punto di riferimento C {\displaystyle C} arbitrariamente scelto di una massa m {\displaystyle m} posizionata in un punto A {\displaystyle A} è il lavoro compiuto dalle forze del campo gravitazionale nello spostamento di m {\displaystyle m} dal punto A {\displaystyle A} al punto di riferimento C {\displaystyle C} . In base a quanto visto precedentemente sarà:

U A = − L C A = ∫ C A G M m r 2 r ^ ⋅ d s → = G M m ∫ r C r A d r r 2 = G M m r C − G M m r A ( r ^ ⋅ d s → = d r ) {\displaystyle U_{A}=-L_{CA}=\int _{C}^{A}{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}=GMm\int _{r_{C}}^{r_{A}}{\frac {\mathrm {d} r}{r^{2}}}={\frac {GMm}{r_{C}}}-{\frac {GMm}{r_{A}}}\qquad \qquad \qquad \qquad (\,{\hat {r}}\cdot {\vec {\mathrm {d} s}}=\mathrm {d} r\,)}

Questa è l’energia potenziale gravitazionale del corpo di massa m {\displaystyle m} quando è posto nel punto A {\displaystyle A} (ed è il lavoro compiuto dalle forze del campo gravitazionale sulla massa m nello spingerla dal punto A {\displaystyle A} all’infinito).

il che significa che nel campo gravitazionale il lavoro fatto dalle forze del campo su un corpo di massa m {\displaystyle m} che si sposta da A {\displaystyle A} a B {\displaystyle B} è pari alla differenza di energia potenziale di m {\displaystyle m} nei punti A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} (il che non è una prerogativa del campo gravitazionale, ma è una caratteristica di ogni campo di forze conservative).

• Nel caso di cui sopra le superfici equipotenziali saranno sfere centrate sull’origine. Infatti: − G M m r = K ⇒ r = − G M m K {\displaystyle -{\frac {GMm}{r}}=K\Rightarrow r=-{\frac {GMm}{K}}} cioè una costante positiva ( K è minore di 0).

Vige un teorema fondamentale per i corpi a simmetria sferica: nella versione " dedicata" alla forza di gravità esso afferma che " una massa estesa dotata di simmetria sferica genera al suo esterno lo stesso campo gravitazionale generato da un oggetto puntiforme di pari massa disposto al centro della sfera". A causa della stessa forma delle funzioni delle forze elettriche e gravitazionali, lo stesso teorema si applica quasi identicamente in elettrostatica.

Il teorema del flusso di Gauss implica la possibilità di modellizzare, con buona approssimazione, la forza che un pianeta (o una stella, o un qualunque oggetto a simmetria sferica) esercita su un corpo nel suo campo gravitazionale come se la sorgente del campo fosse puntiforme, e di usare quindi le classiche formule della forza e dell’energia potenziale anche nel caso di corpi estesi radialmente simmetrici.

Per corpi vicini alla superficie terrestre (entro la decina di km da terra) è possibile approssimare l’accelerazione gravitazionale con il suo sviluppo di Taylor all’ordine 0, cioè con il valore costante g che la forza assume sulla superficie terrestre.

Poniamoci in un sistema di riferimento cartesiano ( O , x , y , z {\displaystyle O,x,y,z} ), con z ^ {\displaystyle {\hat {z}}} versore dell’asse z {\displaystyle z} . La superficie terrestre si trova, per definizione, ad un raggio terrestre r T di distanza dal centro della Terra; naturalmente sia l’accelerazione di gravità che il raggio terrestre sono quantità medie. Otteniamo:

F ( x , y , z ) = − m ⋅ G M r T 2 z ^ + O ( r ) z ^ = − m g z ^ + O ( r ) z ^ ≈ − m g z ^ {\displaystyle F(x,y,z)=-m\cdot {\frac {GM}{r_{T}^{2}}}{\hat {z}}+{\mathcal {O}}(r){\hat {z}}=-mg{\hat {z}}+{\mathcal {O}}(r){\hat {z}}\approx -mg{\hat {z}}}