Équation de schrödinger — wikipédia h gas l gas brennwert

E = p 2 2 m + V ( r ) . {\displaystyle E={p^{2} \over 2m}+V(r).} Le succès de l’équation, déduite de cette extension par utilisation du principe de correspondance, fut immédiat quant à l’évaluation des niveaux quantifiés d’énergie de l’ électron dans l’ atome d’ hydrogène, car elle permit d’expliquer les raies d’émission de l’ hydrogène : séries de Lyman, Balmer, Brackett, Paschen, etc.

L’interprétation physique communément admise de la fonction d’onde de Schrödinger ne fut donnée qu’en 1926 par Max Born. En raison du caractère probabiliste qu’elle introduisait, la mécanique ondulatoire de Schrödinger suscita initialement de la méfiance chez quelques physiciens de renom comme Albert Einstein, pour qui « Dieu ne joue pas aux dés ». La dérivation historique [ modifier | modifier le code ]

• En optique physique, l’équation de propagation dans un milieu transparent d’indice réel n variant lentement à l’échelle de la longueur d’onde conduit – lorsqu’on cherche une solution monochromatique dont l’amplitude varie très lentement devant la phase – à une équation approchée dite de l’ eikonale. C’est l’approximation de l’ optique géométrique, à laquelle est associé le principe variationnel de Fermat.

• Dans la formulation hamiltonienne de la mécanique classique, il existe une équation dite de Hamilton-Jacobi. Pour une particule massive non relativiste soumise à une force dérivant d’une énergie potentielle, l’énergie mécanique totale est constante et l’équation de Hamilton-Jacobi pour la "fonction caractéristique de Hamilton" ressemble alors formellement à l’ équation de l’eikonale (le principe variationnel associé étant le principe de moindre action.)

Ce parallèle avait été noté dès 1834 par Hamilton, mais celui-ci n’avait alors pas de raison de douter de la validité de la mécanique classique. Après l’ hypothèse de De Broglie de 1923, Schrödinger s’est dit [1 ] : l’équation de l’eikonale étant une approximation de l’équation d’onde de l’optique physique, cherchons l’équation d’onde de la "mécanique ondulatoire" (à construire) dont l’approximation soit l’équation de Hamilton-Jacobi. Ce qu’il a fait, d’abord pour une onde stationnaire ( E = cte), puis pour une onde quelconque [2 ].

Remarque : Schrödinger avait en fait commencé par traiter le cas d’une particule relativiste – comme d’ailleurs de Broglie avant lui [3 ]. Il a alors obtenu l’équation connue aujourd’hui sous le nom de Klein-Gordon, mais son application au cas du potentiel coulombien donnant des niveaux d’énergie incompatibles avec les résultats expérimentaux de l’atome d’hydrogène [4 ], il se serait rabattu sur le cas non relativiste, avec le succès que l’on connaît.

p → ^ 2 2 m | Ψ ( t ) ⟩ + V ( r → ^ , t ) | Ψ ( t ) ⟩ = i ℏ ∂ ∂ t | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle {\frac {{\hat {\vec {\mathbf {p} }}}^{2}}{2m}}|\Psi (t)\rangle +V{\Bigl (}{\hat {\vec {\mathbf {r} }}},t{\Bigr )}|\Psi (t)\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}|\Psi (t)\rangle }

• H ^ = p → ^ 2 2 m + V ( r → ^ , t ) {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\vec {\mathbf {p} }}}^{2}}{2m}}+V({\hat {\vec {\mathbf {r} }}},t)} est l’ hamiltonien, dépendant du temps en général, l’ observable correspondant à l’énergie totale du système ;

Contrairement aux équations de Maxwell gérant l’évolution des ondes électromagnétiques, l’équation de Schrödinger est non relativiste. Cette équation est un postulat. Elle a été supposée correcte après que Davisson et Germer eurent confirmé expérimentalement l’ hypothèse de Louis de Broglie. Résolution de l’équation [ modifier | modifier le code ]

L’équation de Schrödinger étant une équation vectorielle on peut la réécrire de façon équivalente dans une base particulière de l’espace des états. Si on choisit par exemple la base | r → ⟩ {\displaystyle |{\vec {r}}\rangle } correspondant à la représentation de position définie par r → ^ | r → ⟩ = r → | r → ⟩ {\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}|{\vec {r}}\rangle ={\vec {r}}|{\vec {r}}\rangle }

alors la fonction d’onde Ψ ( t , r → ) ≡ ⟨ r → | Ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle \Psi (t,{\vec {r}})\equiv \langle {\vec {r}}|\Psi (t)\rangle \,} satisfait à l’équation suivante i ℏ ∂ Ψ ( t , r → ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ → 2 Ψ ( t , r → ) + V ( t , r → ) Ψ ( t , r → ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\vec {\nabla }}^{2}\Psi (t,{\vec {r}})+V(t,{\vec {r}})\Psi (t,{\vec {r}})}

où ∇ → 2 {\displaystyle {\vec {\nabla }}^{2}} est le laplacien scalaire. En effet l’observable position r → ^ {\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {r} }}}} ne dépend pas du temps, donc ses états propres n’en dépendent pas non plus : d | r → ⟩ d t = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} |{\vec {r}}\rangle }{\mathrm {d} t}}=0} .

Sous cette forme on voit que l’équation de Schrödinger est une équation aux dérivées partielles faisant intervenir des opérateurs linéaires, ce qui permet d’écrire la solution générique comme la somme des solutions particulières. L’équation est dans la grande majorité des cas trop compliquée pour admettre une solution analytique de sorte que sa résolution est approchée ou numérique. Recherche des états propres [ modifier | modifier le code ]

Les opérateurs apparaissant dans l’équation de Schrödinger sont des opérateurs linéaires ; il s’ensuit que toute combinaison linéaire de solutions est solution de l’équation. Cela mène à favoriser la recherche de solutions qui ont un grand intérêt théorique et pratique : à savoir les états qui sont propres de l’opérateur hamiltonien.

H | φ n ⟩ = E n | φ n ⟩ {\displaystyle H|\varphi _{n}\rangle =E_{n}|\varphi _{n}\rangle } qui porte parfois le nom d’ équation de Schrödinger indépendante du temps. L’état propre | φ n ⟩ {\displaystyle |\varphi _{n}\rangle } est associé à la valeur propre E n {\displaystyle E_{n}} , scalaire réel, énergie de la particule dont | φ n ⟩ {\displaystyle |\varphi _{n}\rangle } est l’état.

Les valeurs de l’énergie peuvent être discrètes comme les solutions liées d’un puits de potentiel (par ex. niveaux de l’atome d’hydrogène) ; il en résulte une quantification des niveaux d’énergie. Elles peuvent aussi correspondre à un spectre continu comme les solutions libres d’un puits de potentiel (par ex. un électron ayant assez d’énergie pour s’éloigner à l’infini du noyau de l’atome d’hydrogène).

D’une façon générale, la détermination de chacun des états propres de l’hamiltonien, | φ n ⟩ {\displaystyle |\varphi _{n}\rangle } , et de l’énergie associée, fournit l’état stationnaire correspondant, solution de l’équation de Schrödinger :

La recherche des états propres de l’hamiltonien est en général complexe. Même le cas analytiquement soluble de l’atome d’hydrogène ne l’est rigoureusement sous forme simple que si l’on néglige le couplage avec le champ électromagnétique qui va permettre le passage des états excités, solutions de l’équation de Schrödinger de l’atome, vers le fondamental.

La généralisation de l’équation au domaine relativiste mena à l’ équation de Klein-Gordon, puis à l’ équation de Dirac ; cette dernière établit naturellement l’existence du spin et des antiparticules. Cependant, il n’existe aucune interprétation entièrement cohérente de ces équations d’ondes relativistes dans le cadre d’une théorie décrivant une seule particule ; le cadre pertinent pour le théorique quantique relativiste est la théorie quantique des champs.

Il existe d’autres équations de type Schrödinger, non-linéaires, comme l’ Équation de Schrödinger semi-linéaire, ou comme l’ Équation de Gross-Pitaevskii, qui interviennent en théorie des atomes ultra froids, des plasmas, des lasers, etc. Bibliographie [ modifier | modifier le code ]