Esfera – wikipedia, la enciclopedia libre k electric bill payment online

La esfera ( superficie esférica) es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que tienen la misma distancia a un punto fijo denominado centro; tanto el segmento que une un punto con el centro, como la longitud del segmento, se denomina radio. En este caso se genera al rotar una semicircunferencia , usando como eje de rotación su diámetro. [2 ]​ Este concepto se usa al definir la esfera en geometría analítica del espacio. Como sólido [ editar ]

La esfera ( sólido esférico) es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que están, respecto del centro, a una distancia igual o menor que la longitud de su radio. Este concepto coincide con la definición de bola cerrada en el análisis real de ℝ 3. Se genera al rotar un semicírculo, teniendo como eje de rotación su diámetro. [3 ]​

En esta situación, topológicamente, se puede hablar de frontera( Fr) el conjunto de puntos de la esfera de distancia igual al radio; interior ( Int), el conjunto de puntos de distancia menor que el radio; exterior (Ext), el conjunto de puntos de distancia mayor que el radio. Cumpliéndose que estos tres conjuntos forman una partición del espacio, de modo que son disjuntos dos a dos y la unión de los tres es el mismo espacio. [4 ]​ Propiedades [ editar ]

Se elige un ecuador y un punto del mismo como origen de los ángulos horizontales; se escoge una orientación del ecuador para definir el signo del ángulo φ; se escoge uno de los dos puntos de la esfera más distantes del ecuador –llamados polos– para definir el signo del ángulo θ Determinación de los puntos mediante ángulos

Todo punto de la esfera está localizado de manera inequívoca por los dos ángulos θ y φ. Con el valor de un ángulo sobre el plano horizontal (plano del ecuador) y otro vertical (desde un polo), se puede localizar cualquier punto de la esfera.

En geometría, normalmente, se expresan estos ángulos en radianes (pues permite calcular longitudes de arcos de circunferencia), mientras que en geografía se usan los grados sexagesimales o centesimales: en este caso, θ es la latitud del punto y φ su longitud si se toma un origen en el punto del ecuador del meridiano de Greenwich y el otro origen en el polo norte. Las latitudes positivas corresponden al hemisferio norte, y las longitudes positivas al hemisferio Este.

Introducir un tercer parámetro r permite localizar cualquier punto del espacio con las coordenadas esféricas (r, φ, θ). Si se impone tomar φ en un intervalo semi-abierto de longitud 2π y θ en uno de longitud π, entonces, cualquier punto del espacio tiene coordenadas esféricas únicas, salvo los del eje vertical, donde sirve cualquier valor de φ.

{ x = r sin ⁡ θ cos ⁡ φ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ z = r cos ⁡ θ con − π 2 < θ ≤ π 2 , y 0 < φ ≤ 2 π {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=&r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix}}\right.\qquad {\text{con }}-{\frac {\pi }{2}}<\theta \leq {\frac {\pi }{2}},\ \ {\text{ y }}\ \ 0<\varphi \leq 2\pi }

{ r = x 2 + y 2 + z 2 ≠ 0 θ = arccos ⁡ z r = arccos ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 φ = arcsin ⁡ y r cos ⁡ θ = 2 arcsin ⁡ y x 2 + y 2 + x {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\neq 0\\\theta =\arccos {\frac {z}{r}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\\varphi =\arcsin {\frac {y}{r\cos \theta }}=2\arcsin {\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\end{matrix}}\right.} Extremos de sólidos en la esfera [ editar ]

Se puede generalizar la noción de esfera en espacios vectoriales de dimensiones superiores a tres. A partir de la cuarta dimensión ya no es representable gráficamente, pero la definición sigue siendo que la esfera es el conjunto de los puntos equidistantes de un punto fijo. En un espacio euclidiano de cuatro dimensiones, usando un sistema de coordenadas cartesianas la ecuación de la esfera de radio 1 centrada en el origen es: