Fórmula de euler – wikipédia, a enciclopédia livre electricity towers in japan

Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será:: d d x f ( x ) = ( cos ⁡ x − i sin ⁡ x ) ⋅ d d x e i x + d d x ( cos ⁡ x − i sin ⁡ x ) ⋅ e i x = ( cos ⁡ x − i sin ⁡ x ) ( i e i x ) + ( − sin ⁡ x − i cos ⁡ x ) ⋅ e i x = ( i cos ⁡ x + sin ⁡ x − sin ⁡ x − i cos ⁡ x ) ⋅ e i x = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}f(x)&=(\cos x-{\text{i}}\sin x)\cdot {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}e^{{\text{i}}\,x}+{\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}(\cos x-{\text{i}}\,\sin x)\cdot e^{{\text{i}}\,x}\\&=(\cos x-{\text{i}}\,\sin x)({\text{i}}\,e^{{\text{i}}\,x})+(-\sin x-{\text{i}}\,\cos x)\cdot e^{{\text{i}}\,x}\\&=({\text{i}}\,\cos x+\sin x-\sin x-{\text{i}}\,\cos x)\cdot e^{{\text{i}}\,x}\\&=0\ .\end{aligned}}}

Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função), 1 = ( cos ⁡ x − i sin ⁡ x ) ⋅ e i x . {\displaystyle 1=(\cos x-{\text{i}}\,\sin x)\cdot e^{{\text{i}}\,x}\ .}

Multiplicando os dois lados por cos x + i sin x, obtemos cos ⁡ x + i sin ⁡ x = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x − i sin ⁡ x ) ⋅ e i x = ( cos 2 ⁡ x − ( i sin ⁡ x ) 2 ) ⋅ e i x = ( cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x ) ⋅ e i x = e i x . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x+{\text{i}}\,\sin x&=(\cos x+{\text{i}}\,\sin x)(\cos x-{\text{i}}\,\sin x)\cdot e^{{\text{i}}\,x}\\&=(\cos ^{2}x-({\text{i}}\,\sin x)^{2})\cdot e^{{\text{i}}\,x}\\&=(\cos ^{2}x+\sin ^{2}x)\cdot e^{{\text{i}}\,x}\\&=e^{{\text{i}}\,x}\ .\end{aligned}}} Prova utilizando série de Taylor [ editar | editar código-fonte ]

Usando esse conceito de expansão e tomando f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} em torno de a = 0 {\displaystyle a=0} , teremos: e x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) x n n ! = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . + x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{{f^{n}}(0)}{x^{n}}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{…}+{\frac {x^{n}}{n!}}}

Em x = 1 {\displaystyle x=1} , na equação acima, obtém-se a expressão para o número e {\displaystyle e} , como uma soma de uma série infinita: e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{…}}

Se admitirmos a validade de substituirmos x {\displaystyle x} por i x {\displaystyle ix} na equação obteremos: e i x = ∑ n = 0 ∞ ( i x ) n n ! = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ⋅ x 2 n ( 2 n ) ! + i ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ⋅ x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! {\displaystyle e^{{\text{i}}\,x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {({\text{i}}\,x)^{n}}{n!}}={\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n}}\cdot {x^{2n}}}{(2n)!}}}+{\text{i}}\,{\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n-1}}\cdot {x^{2n-1}}}{(2n-1)!}}}}

A primeira parte da soma da equação anterior ( e i x {\displaystyle e^{ix}} ) é a expansão do c o s ( x ) {\displaystyle cos(x)} e a segunda é a expansão do s e n ( x ) {\displaystyle sen(x)} em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler e i x = cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) {\displaystyle e^{{\text{i}}\,x}=\cos \left(x\right)+{\text{i}}\,\,\operatorname {sin} \left(x\right)}

que de forma mais generalizada pode ser escrita como: e i u x = cos ⁡ ( u x ) + i sin ⁡ ( u x ) {\displaystyle e^{{\text{i}}\,ux}=\cos \left(ux\right)+{\text{i}}\,\operatorname {sin} \left(ux\right)} . Exemplo [ editar | editar código-fonte ]

Se tomarmos como x = π = 3 , 1415…. {\displaystyle x=\pi =3,1415….} , então teremos um importante produto [1 ]: e i π = − 1 {\displaystyle e^{{\text{i}}\,\pi }=-1} e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{{\text{i}}\,\pi }+1=0} Ver também [ editar | editar código-fonte ]