Formule de stirling — wikipédia la gasolina mp3

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• La détermination de la constante n’est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de De Moivre, en vérifiant que ln ⁡ ( n n + 1 2 e − n n ! ) {\displaystyle \ln \left({\frac {n^{n+{\frac {1}{2}}}\operatorname {e} ^{-n}}{n\,!}}\right)} est la n-ième somme partielle d’une série télescopique convergente [3 ]. La façon classique d’en déduire ensuite la formule asymptotique est exposée dans l’article sur les intégrales de Wallis.

ln ⁡ ( n ! ) = ∑ k = 1 n ln ⁡ k = ∫ 1 n ln ⁡ x d x + ln ⁡ 1 + ln ⁡ n 2 + O ( 1 ) = n ln ⁡ n − n + ln ⁡ n 2 + O ( 1 ) . {\displaystyle \ln(n!)=\sum _{k=1}^{n}\ln k=\int _{1}^{n}\ln x\;\mathrm {d} x+{\frac {\ln 1+\ln n}{2}}+O(1)=n\ln n-n+{\frac {\ln n}{2}}+O(1).}

En supposant le coefficient C = √ 2π déjà connu, la formule d’Euler-Maclaurin donne le développement asymptotique de ln( n!) au voisinage de l’infini à l’ordre K ≥ 1 : ln ⁡ ( n ! ) = n ln ⁡ n − n + 1 2 ln ⁡ ( 2 π n ) + ∑ k = 1 K ( − 1 ) k + 1 B k + 1 k ( k + 1 ) n k + O ( 1 n K + 1 ) {\displaystyle \ln(n\,!)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)+\sum _{k=1}^{K}{\frac {(-1)^{k+1}B_{k+1}}{k(k+1)n^{k}}}+O\left({\frac {1}{n^{K+1}}}\right)} ,

Sachant que, à part B 1 (qui n’intervient pas dans la formule), tous les nombres de Bernoulli de rang impair sont nuls, on peut réécrire le développement (à l’ordre 2 K) : ln ⁡ ( n ! ) = n ln ⁡ n − n + 1 2 ln ⁡ ( 2 π n ) + ∑ k = 1 K B 2 k 2 k ( 2 k − 1 ) n 2 k − 1 + O ( 1 n 2 K + 1 ) {\displaystyle \ln(n\,!)=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)+\sum _{k=1}^{K}{\frac {B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{2K+1}}}\right)} .

En calculant les premiers termes de e μ( n) grâce à la formule exponentielle (en) (laquelle fait intervenir les polynômes de Bell), on a alors le développement asymptotique de n! au voisinage de l’infini : n ! = 2 π n ( n e ) n [ 1 + 1 12 n + 1 288 n 2 − 139 51840 n 3 − 571 2488320 n 4 + 163879 209018880 n 5 + O ( 1 n 6 ) ] {\displaystyle n\,!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\mathrm {e} }}\right)^{n}\left[1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+O\left({\frac {1}{n^{6}}}\right)\right]}

développement dont les numérateurs et dénominateurs sont référencés respectivement par les suites A001163 et A001164 de l’ OEIS. Il s’agit également du développement asymptotique de la fonction gamma. Version continue [ modifier | modifier le code ]

La formule précédente est une conséquence, pour le cas particulier d’un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction gamma : Γ ( z ) ∼ z z − 1 2 e − z 2 π , | arg ⁡ ( z ) | < π {\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}{\mathrm {e} }^{-z}{\sqrt {2\pi }},\quad |\arg(z)|<\pi } . Calculs numériques [ modifier | modifier le code ] Précision de la formule de Stirling [ modifier | modifier le code ]

Dans √ n, si l’on remplace n par n + 1 / 6, les calculs sont nettement améliorés, pour les petites valeurs de n (approximation de Gosper) ; on peut aussi préférer un encadrement [5 ] ; enfin, on peut prendre la suite A055775 de l’ OEIS. Approximations exploitables pour des machines à calculer [ modifier | modifier le code ]

ou de façon équivalente 2 ln ⁡ ( Γ ( z ) ) ≈ ln ⁡ ( 2 π ) − ln ⁡ z + z ( 2 ln ⁡ z + ln ⁡ ( z sinh ⁡ 1 z + 1 810 z 6 ) − 2 ) {\displaystyle 2\ln(\Gamma (z))\approx \ln(2\pi )-\ln z+z\left(2\ln z+\ln \left(z\sinh {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{810z^{6}}}\right)-2\right)} ,

peut être obtenue en réarrangeant la formule étendue de Stirling et en remarquant une coïncidence entre la série des puissances résultante et le développement en série de Taylor de la fonction sinus hyperbolique. Cette approximation est valable jusqu’à plus de 8 décimales pour z ayant une partie réelle supérieure à 8. Robert H. Windschitl l’a suggérée en 2002 pour calculer la fonction gamma avec une bonne précision sur des machines à calculer à programme ou mémoire de registre limité(e) [6 ].

Gergő Nemes a proposé en 2007 une approximation qui donne le même nombre de chiffres exacts que celle de Windschitl mais qui est bien plus simple [7 ] : Γ ( z ) ≈ 2 π z ( 1 e ( z + 1 12 z − 1 10 z ) ) z {\displaystyle \Gamma (z)\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{z}}}\left({\frac {1}{\mathrm {e} }}\left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)\right)^{z}} ,

ou de façon équivalente ln ⁡ ( Γ ( z ) ) ≈ 1 2 [ ln ⁡ ( 2 π ) − ln ⁡ z ] + z [ ln ⁡ ( z + 1 12 z − 1 10 z ) − 1 ] {\displaystyle \ln(\Gamma (z))\approx {\tfrac {1}{2}}\left[\ln(2\pi )-\ln z\right]+z\left[\ln \left(z+{\frac {1}{12z-{\frac {1}{10z}}}}\right)-1\right]} . Approximation logarithmique [ modifier | modifier le code ]

Dans le cadre de la thermodynamique statistique ( distribution de Boltzmann) il est commode de considérer le logarithme népérien d’une factorielle en faisant l’approximation de Stirling [8 ]. L’approximation consiste à assimiler la somme à une intégrale quand n est suffisamment grand [9 ]. ln ⁡ ( n ! ) = ∑ i = 1 n ln ⁡ i ≃ ∫ 1 n ln ⁡ x d x = [ x ln ⁡ x − x ] 1 n = n ln ⁡ n − n + 1 {\displaystyle \ln \left(n!\right)=\sum _{i=1}^{n}{\ln i}\simeq \int _{1}^{n}{\ln x\,\mathrm {d} x}=\left[x\ln x-x\right]_{1}^{n}=n\ln n-n+1} .

pour laquelle l’erreur relative est inférieure à 1 % quand n > 100. Cette approximation est considérée comme valable (l’erreur est négligeable) dans le cadre de la distribution de Boltzmann étant donné les grandes valeurs de n utilisées (représentant les configurations microscopiques d’un état macroscopique).

Une approximation bien plus précise de ln( n!) a été donnée par Srinivasa Ramanujan [10 ] : ln ⁡ ( n ! ) = n ln ⁡ n − n + ln ⁡ ( 8 n 3 + 4 n 2 + n + 1 / 30 + o ( 1 ) ) 6 + ln ⁡ π 2 {\displaystyle \ln(n!)=n\ln n-n+{\frac {\ln(8n^{3}+4n^{2}+n+1/30+o(1))}{6}}+{\frac {\ln \pi }{2}}} ( Ramanujan 1988). Notes et références [ modifier | modifier le code ]