Funzione inversa – wikipedia kansas gas service login

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• se x 1 , x 2 ∈ X {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X} e f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} , allora x 1 = g ( f ( x 1 ) ) = g ( f ( x 2 ) ) = x 2 {\displaystyle x_{1}=g(f(x_{1}))=g(f(x_{2}))=x_{2}} , dunque f {\displaystyle f} è iniettiva;

Viceversa, se f {\displaystyle f} è una biiezione, allora possiamo definirne un’inversa g {\displaystyle g} , stipulando che g ( y ) {\displaystyle g(y)} sia quell’unico elemento x ∈ X {\displaystyle x\in X} tale che f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} ; infatti tale x {\displaystyle x} esiste per la suriettività, ed è unico per l’iniettività. Inoltre risulta x = g ( y ) = g ( f ( x ) ) {\displaystyle x=g(y)=g(f(x))} per ogni x ∈ X {\displaystyle x\in X} e y = f ( x ) = f ( g ( y ) ) {\displaystyle y=f(x)=f(g(y))} per ogni y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} .

ad esempio la funzione f : R → R + {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}} definita da f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} ammette come inversa destra qualunque funzione g : R + → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } che per ogni x ∈ R + {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}} soddisfi g ( x ) = x {\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}} oppure g ( x ) = − x {\displaystyle g(x)=-{\sqrt {x}}} . Inversa sinistra ed iniettività [ modifica | modifica wikitesto ]

Infatti ogni funzione f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} è una relazione R {\displaystyle R} tra i due insiemi X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} , che può essere identificata con l’insieme delle coppie che sono in relazione, R = { ( x , y ) ∈ X × Y ∣ x R y } {\displaystyle R=\{(x,y)\in X\times Y\mid xRy\}} , ovvero con il grafico della funzione. La relazione inversa è semplicemente la simmetrica, y S x {\displaystyle ySx} se e solo se x R y {\displaystyle xRy} ; dunque

In particolare, per funzioni di variabile reale, il grafico della funzione inversa f − 1 {\displaystyle f^{-1}} è simmetrico del grafico di f {\displaystyle f} rispetto alla "diagonale" y = x {\displaystyle y=x} ovvero la retta bisettrice del primo e del terzo quadrante.

In particolare, si può ottenere rapidamente un’espressione esplicita per la funzione inversa ricordando che y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} è equivalente a x = f − 1 ( y ) {\displaystyle x=f^{-1}(y)} . Dunque è sufficiente esprimere x {\displaystyle x} in funzione di y {\displaystyle y}

In ogni caso è necessario definire una funzione inversa: la sottrazione, la divisione e l’estrazione di radice applicate nell’esempio precedente sono definite come le funzioni inverse rispettivamente della somma, della moltiplicazione e dell’elevamento a potenza. Se una funzione invertibile non è esprimibile come composizione di funzioni delle quali sono già state definite le funzioni inverse, allora la funzione inversa non potrà essere espressa come composizione di inverse note e dovrà essere definita ex-novo.

La funzione quadrato, dai reali ai reali, non è invertibile. La sua restrizione, dai reali positivi ai reali positivi, è invertibile con inversa la funzione radice quadrata. Nell’immagine i grafici delle funzioni sono stati entrambi immersi nell’intero piano cartesiano.

Con questo procedimento si ottiene una funzione diversa da quella di partenza, e la sua funzione inversa non è funzione inversa della funzione originale. Poiché su alcuni elementi si comporta come una funzione inversa, viene considerata una inversa parziale.

Ogni funzione può essere "resa" iniettiva restringendo il suo dominio: se nel dominio sono presenti due elementi x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}} tali che f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} , allora la funzione non può essere iniettiva. "Togliendo" x 1 {\displaystyle x_{1}} o x 2 {\displaystyle x_{2}} dal dominio, quest’ostacolo viene eliminato.

Non esiste un’unica restrizione del dominio che renda iniettiva la funzione: per ogni coppia di elementi x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}} tali che f ( x 1 ) = f ( x 2 ) {\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})} , si può scegliere di escludere dal dominio x 1 {\displaystyle x_{1}} , o x 2 {\displaystyle x_{2}} , o entrambi.

Nel caso di funzioni reali continue, dove sia possibile applicare una nozione di continuità e di separazione, si usa scegliere come dominio un intervallo massimale e parlare di rami della funzione, e viene convenzionalmente scelto un ramo principale.

Ogni funzione può essere "resa" suriettiva restringendo il suo codominio: se nel codominio è presente un elemento y {\displaystyle y} che non è immagine di alcun elemento del dominio, allora la funzione non può essere suriettiva. "Togliendo" y {\displaystyle y} dal codominio, quest’ostacolo viene eliminato.

Non tutte le funzioni sono invertibili, ma ad ogni elemento del codominio può essere associata la sua controimmagine (o fibra), indicata talvolta con abuso di notazione f − 1 ( y ) = f − 1 ( { y } ) = { x ∈ X ∣ f ( x ) = y } {\displaystyle f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\})=\{x\in X\mid f(x)=y\}}

Se però la funzione di partenza è suriettiva, allora per ogni elemento y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} del codominio esiste almeno un elemento del dominio x ∈ X {\displaystyle x\in X} tale che y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} , ovvero x = f − 1 ( y ) {\displaystyle x=f^{-1}(y)} . Questo elemento non è necessariamente unico, se f {\displaystyle f} non è iniettiva. In questo caso f − 1 {\displaystyle f^{-1}} non è una funzione (non è univoca), ma è una funzione multivoca, o multifunzione.