Groupe général linéaire — wikipédia electricity for refrigeration heating and air conditioning answer key

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Pour tout corps commutatif K, GL( n, K) est engendré par les matrices élémentaires de transvections et de dilatations (car les transvections engendrent le groupe spécial linéaire). Groupe général linéaire [ modifier | modifier le code ] Groupe général linéaire d’un espace vectoriel [ modifier | modifier le code ]

Si E est de dimension n, alors GL( E) et GL( n, K) sont isomorphes. Cet isomorphisme n’est pas canonique et dépend du choix d’une base de E. Une fois cette base choisie, tout automorphisme de E peut être représenté par une matrice n × n inversible qui détermine l’isomorphisme. Sur les réels et les complexes [ modifier | modifier le code ]

Si le corps K est ℝ (les nombres réels) ou ℂ (les nombres complexes), alors GL( n, K) est un groupe de Lie réel ou complexe de dimension n 2. En effet, GL( n) est constitué des matrices de déterminant non nul. Le déterminant étant une application continue (et même polynomiale), GL( n) est un sous-ensemble ouvert non vide de la variété M( n) des matrices n× n, or cette variété est de dimension n 2.

GL( n,ℝ) possède deux composantes connexes : les matrices de déterminant positif et celles de déterminant négatif. Les matrices n× n réelles de déterminant positif forment un sous-groupe de GL( n, ℝ), noté GL +( n, ℝ). Ce dernier est également un groupe de Lie de dimension n 2 et possède la même algèbre de Lie que GL( n,ℝ). Son groupe fondamental est monogène : trivial pour n = 1, infini pour n = 2 et d’ ordre 2 pour n > 2. Sur les corps finis [ modifier | modifier le code ]

Si K est un corps fini à q éléments, alors on écrit parfois GL( n, q) à la place de GL( n, K). C’est un groupe fini d’ ordre ( q n – 1)( q n – q)( q n – q 2) … ( q n – q n–1), ce qui peut être prouvé en comptant les bases d’un espace vectoriel fini. Groupe spécial linéaire [ modifier | modifier le code ]

C’est un sous-groupe normal de GL( n, R), puisque c’est le noyau du morphisme de groupes « déterminant », de GL( n, R) dans le groupe multiplicatif R × des éléments inversibles de R. D’après le premier théorème d’isomorphisme, le groupe quotient GL( n, R)/SL( n, R) est isomorphe à R ×. En fait, GL( n, R) est un produit semi-direct de SL( n, R) par R × : GL( n, R) = SL( n, R) ⋊ R ×.

Le groupe projectif linéaire (en) PGL( E) d’un espace vectoriel E sur un corps commutatif K est le groupe quotient GL( E)/Z( E), où Z( E) est le centre de GL( E), c’est-à-dire le sous-groupe formé des homothéties non nulles. Le groupe projectif spécial linéaire PSL( E) d’un espace E de dimension finie est le groupe quotient de SL( E) par son centre SZ( E), c’est-à-dire par le sous-groupe formé des homothéties de déterminant 1 [2 ]. Si E = K n, ils sont notés respectivement PGL( n, K) et PSL( n, K). Le groupe projectif spécial linéaire PSL( n, F q) d’un corps fini F q est parfois noté L n( q).

Cette dénomination de « groupe projectif » vient de la géométrie projective, où le groupe projectif agissant sur les coordonnées homogènes ( x 0: x 1: … : x n) est le groupe sous-jacent de cette géométrie (en conséquence, le groupe PGL( n+1, K) agit sur l’ espace projectif de dimension n). Le groupe projectif linéaire généralise donc le groupe PGL(2) des transformations de Möbius, parfois appelé le groupe de Möbius.

Une matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif R est inversible (i.e. possède une matrice inverse également à coefficients dans R) si et seulement si son déterminant est inversible dans R (si R n’est pas un corps, il ne suffit donc pas que le déterminant soit non nul). Les éléments de GL( n, ℤ) sont donc les matrices n × n à coefficients entiers de déterminant égal à 1 ou –1. Le groupe modulaire est le groupe PSL(2, ℤ). Sous-groupes [ modifier | modifier le code ] Diagonaux [ modifier | modifier le code ]

Une matrice scalaire est une matrice d’homothétie, c’est-à-dire une matrice diagonale qui est le produit de la matrice identité par une constante. L’ensemble des matrices scalaires non nulles, parfois noté Z( n, K), forme un sous-groupe de GL( n, K) isomorphe à K ×. Ce groupe est le centre de GL( n, K). Il est donc normal dans GL( n, K) et abélien.

Le groupe général linéaire « infini », ou « stable », d’un anneau unitaire A est la limite inductive de la suite des GL( n, A), pour les inclusions par blocs supérieurs gauches : G L ( n , A ) → G L ( n + 1 , A ) , M ↦ ( M 0 ⋮ 0 0 … 0 1 ) . {\displaystyle GL(n,A)\to GL(n+1,A),\quad M\mapsto {\begin{pmatrix}M&{\begin{matrix}0\\\vdots \\0\end{matrix}}\\{\begin{matrix}0&\ldots &0\end{matrix}}&1\end{pmatrix}}.}

On le note GL( A) ou GL( ∞, A). On peut voir ses éléments comme les matrices infinies inversibles qui ne diffèrent de la matrice identité (infinie) que par un nombre fini de leurs coefficients. Le lemme de Whitehead permet de calculer son groupe dérivé. Notes et références [ modifier | modifier le code ]