Hookesches gesetz – wikipedia world j gastrointestinal oncol impact factor

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Das hookesche Gesetz (nach Robert Hooke, der es 1676 erstmals als Anagramm und 1678 [1] aufgelöst publizierte) beschreibt grade 9 electricity module die elastische Verformung von Festkörpern, wenn deren Verformung proportional zur einwirkenden Belastung ist ( linear-elastisches Verhalten). Dieses Verhalten („Ut tensio sic vis“) ist typisch für Metalle, wenn die Belastung nicht zu groß wird, sowie für harte, spröde Stoffe oft bis zum Bruch (Glas, Keramik, Silizium).

Das hookesche Gesetz stellt den linearen Sonderfall des Elastizitätsgesetzes dar. Der Zusammenhang von Verformung und Spannung mit quadratischer oder höherer Ordnung kann hierbei nicht betrachtet werden. Außen vor bleiben also die nicht-linear elastische Verformung wie bei Gummi, die plastische Verformung oder die duktile Verformung wie bei Metall nach electricity physics definition Überschreiten der Fließgrenze. Dennoch müssen Spannung und Verformung nicht in derselben Linie liegen: eine Verformung in x {\displaystyle x} -Richtung kann eine Spannung in y {\displaystyle y} -Richtung bewirken. Das hookesche Gesetz ist daher im Allgemeinen eine Tensorbeziehung.

Das hookesche Gesetz findet nicht nur in der Mechanik, sondern auch in anderen Bereichen der Physik Anwendung. In der Quantenmechanik etwa lässt sich für hinreichend kleine Δ l {\displaystyle \Delta l} über die Anwendung des hookeschen Gesetzes der quantenmechanische harmonische Oszillator beschreiben. Ein weiteres Beispiel ist die Molekularphysik. Hier kann, analog zur Federkonstanten, die Linearität zu Δ l {\displaystyle \Delta l} durch eine Kraftkonstante ausgedrückt werden. Diese Kraftkonstante beschreibt gas density and molar mass dann die Stärke einer chemischen Bindung.

Die in einer Feder durch Dehnung entstehende potentielle Energie kann folgendermaßen berechnet werden. Gegeben ist eine Auslenkung vom Betrag s {\displaystyle s} , die die Auslenkung aus der Ruhelage ( s = 0 {\displaystyle s=0} , Gleichgewichtslage) beschreibt. Die Kraft ist proportional zur Auslenkung, nämlich F → = − D s → {\displaystyle {\vec {F}}=-D{\vec {s}}} . Durch Integration der Kraft erhält electricity videos for students man nun die potentielle Energie:

E pot = − ∫ 0 s → F → ⋅ d s → ′ = − ∫ 0 s → ( − D s → ′ ) ⋅ d s → ′ = D ∫ 0 s → s → ′ ⋅ d s → ′ = 1 2 D s 2 {\displaystyle E_{\text{pot}}=-\int \limits _{0}^{\vec {s}}{{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}\,’}=-\int \limits _{0}^{\vec {s}}{\left({-D{\vec {s}}\,’}\right)\cdot d{\vec {s}}\,’}=D\int \limits _{0}^{\vec {s}}{{\vec {s}}\,’\cdot d{\vec {s}}\,’}={\frac {1}{2}}Ds^{2}}

mit dem Elastizitätstensor C ~ ~ {\displaystyle {\tilde {\tilde {C}}}} , der die elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet. Da der Tensor C ~ ~ {\displaystyle {\tilde {\tilde {C}}}} 81 Komponenten C i j k l , i , j , k , l = 1 , … , 3 {\displaystyle C_{ijkl},\;i,j,k,l=1,\dotsc ,3} aufweist, ist er schwierig zu handhaben.

Überführung in Konstanten C I J {\displaystyle C_{IJ}} anhand des Schemas 11 → 1, 22 → 2, 33 → 3, 23 → 4, 31 → 5, 12 → 6 jedoch auf 36. Damit lässt sich das hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die elastischen Konstanten in einer 6 × 6 {\displaystyle 6\times 6} -Matrix, sowie j gastroenterol hepatol impact factor die Verzerrung und die Spannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden:

[ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] = [ C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 21 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 31 C 32 C 33 C 34 C 35 C 36 C 41 C 42 C 43 C 44 C 45 C 46 C 51 C 52 C 53 C 54 C 55 C 56 C 61 C 62 C 63 C 64 C 65 C 66 ] [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}C_{12}C_{13}C_{14}C_{15}C_{16}\\C_{21}C_{22}C_{23}C_{24}C_{25}C_{26}\\C_{31}C_{32}C_{33}C_{34}C_{35}C_{36}\\C_{41}C_{42}C_{43}C_{44}C_{45}C_{46}\\C_{51}C_{52}C_{53}C_{54}C_{55}C_{56}\\C_{61}C_{62}C_{63}C_{64}C_{65}C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}

Die maximal sechs Unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden somit auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt ( Voigtsche Notation). Bei ε 4 = 2 ε 23 , ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{4}=2\varepsilon _{23},\varepsilon _{5}} und ε 6 {\displaystyle \varepsilon _{6}} muss man aufpassen, weil hier ein zusätzlicher Faktor 2 dazu wd gaster website kommt und nicht nur die Indices angepasst werden.

ε ¯ = L − 1 σ ¯ {\displaystyle {\bar {\varepsilon }}=L^{-1}{\bar {\sigma }}} , mit L − 1 = 1 E [ 1 − ν − ν 0 0 0 ⋅ 1 − ν 0 0 0 ⋅ ⋅ 1 0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 2 ( 1 + ν ) 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 ( 1 + ν ) 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 ( 1 + ν ) ] {\displaystyle L^{-1}={\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1-\nu -\nu 000\\\cdot 1-\nu 000\\\cdot \cdot 1000\\\cdot \cdot \cdot 2(1+\nu )00\\\cdot \cdot \cdot \cdot 2(1+\nu )0\\\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot 2(1+\nu )\end{bmatrix}}} , bzw. L = E 1 + ν [ 1 − ν 1 − 2 ν ν 1 − 2 ν ν 1 − 2 ν 0 0 0 ⋅ 1 − ν 1 − 2 ν ν 1 − 2 ν 0 0 0 ⋅ ⋅ 1 − ν 1 − 2 ν 0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 1 2 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0 0 1 2 ] {\displaystyle L={\frac {E}{1+\nu }}{\begin{bmatrix}{\frac {1-\nu }{1-2\nu }}{\frac {\nu }{1-2\nu }}{\frac {\nu }{1-2\nu }}000\\\cdot {\frac {1-\nu }{1-2\nu }}{\frac {\nu }{1-2\nu }}000\\\cdot \cdot {\frac {1-\nu }{1-2\nu }}000\\\cdot \cdot \cdot {\frac {1}{2}}00\\\cdot \cdot \cdot 0{\frac electricity invented in homes {1}{2}}0\\\cdot \cdot \cdot 00{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}} ,

( σ x x σ x y σ x z σ x y σ y y σ y z σ x z σ y z σ z z ) = 2 μ ( ε x x ε x y ε x z ε x y ε y y ε y z ε x z ε y z ε z z ) + λ ( ε x x + ε y y + ε z z ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}\sigma _{xx}\sigma _{xy}\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\sigma _{yy}\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\sigma _{yz}\sigma _{zz}\end{array}}\right)=2\mu \left({\begin{array}{ccc}\varepsilon _{xx}\varepsilon _{xy}\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\varepsilon _{yy}\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\varepsilon _{yz}\varepsilon _{zz}\end{array}}\right)+\lambda (\varepsilon _{xx}+\varepsilon _{yy}+\varepsilon _{zz})\left({\begin{array}{ccc}100\\010\\001\end{array}}\right)} .

( ε x x ε x y ε x z ε x y ε y y ε y z ε x z ε y z ε z z ) = 1 2 μ ( σ x x σ x y σ x z σ x y σ y y σ y z σ x z σ y z σ z z ) − ν E ( σ x x + σ y y + σ z z ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle \left gas jet compressor({\begin{array}{ccc}\varepsilon _{xx}\varepsilon _{xy}\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}\varepsilon _{yy}\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xz}\varepsilon _{yz}\varepsilon _{zz}\end{array}}\right)={\frac {1}{2\mu }}\left({\begin{array}{ccc}\sigma _{xx}\sigma _{xy}\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}\sigma _{yy}\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}\sigma _{yz}\sigma _{zz}\end{array}}\right)-{\frac {\nu }{E}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz})\left({\begin{array}{ccc}100\\010\\001\end{array}}\right)} .

Scheiben sind ebene Flächenträger, die per Definition nur in ihrer Ebene belastet werden. Stäbe und Balken sind schlanke Träger, bei denen zwei Abmessungen klein sind gegenüber der dritten axialen. Wenn keine Belastungen senkrecht zur Ebene bzw. Längsachse dieser Träger auftreten, herrscht in ihnen ein ebener Spannungszustand (ESZ 3 gas laws), in dem alle Spannungskomponenten senkrecht zur betrachteten Ebene vernachlässigt werden können.

Flächenträger, die auch senkrecht zu ihrer Ebene belastet werden, bezeichnet man als Platten. Ist diese Platte so dick gas constant for helium, dass sie durch die senkrecht auf sie wirkende Belastung nicht merklich zusammengedrückt wird, herrscht in ihrer Ebene ein ebener Verzerrungszustand (EVZ), in dem alle Verzerrungskomponenten senkrecht zur betrachteten Ebene vernachlässigt werden können.

( ε x x ε y y 2 ε x y ) = 1 E ( 1 − ν 0 − ν 1 0 0 0 2 ( 1 + ν ) ) ( σ x x σ y y σ x y ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)={\frac {1}{E}}\left({\begin{array}{ccc}1-\nu 0\\-\nu 10\\002(1+\nu )\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)}

( σ x x σ y y σ x y ) = E 1 − ν 2 ( 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν 2 ) ( ε x x ε y y 2 ε x y ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left({\begin{array}{ccc}1\nu 0\\\nu 10\\00{\frac {1-\nu }{2}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)}

( ε x x ε y y ε x y ) = 1 2 μ ( 1 − ν − ν 0 − ν 1 − ν 0 0 0 1 ) ( σ x x σ y y σ x y ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{xy}\end electricity balloon experiment{array}}\right)={\frac {1}{2\mu }}\left({\begin{array}{ccc}1-\nu -\nu 0\\-\nu 1-\nu 0\\001\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)} .

( σ x x σ y y σ x y ) = 2 μ 1 − 2 ν ( 1 − ν ν 0 ν 1 − ν 0 0 0 1 − 2 ν ) ( ε x x ε y y ε x y ) {\displaystyle \left({\begin{array}{c}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{array}}\right)={\frac {2\mu }{1-2\nu }}\left({\begin{array}{ccc}1-\nu \nu 0\\\nu 1-\nu 0\\001-2\nu \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{xy}\end{array}}\right)}