Ideal (ringtheorie) – wikipedia h gas l gas unterschied

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Der Ursprung der Ideale liegt in der Feststellung, dass in Ringen wie Z [ − 5 ] = { a + b ⋅ − 5 ∣ a , b ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]=\left\{a+b\cdot {\sqrt {-5}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\}} die Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Elemente nicht gilt: So ist

und die beiden Faktoren jeder Zerlegung sind irreduzibel. Ernst Eduard Kummer stellte fest, dass man die Eindeutigkeit manchmal wiederherstellen kann, indem man weitere, ideale Zahlen hinzunimmt. Im Beispiel erhält man durch Hinzunahme der Zahl i {\displaystyle \mathrm {i} } die Faktorisierungen

und die Eindeutigkeit ist wieder hergestellt. [1] Aus heutiger Sicht entspricht die Einführung der idealen Zahl i {\displaystyle \mathrm {i} } dem Übergang zum ( Ganzheitsring des) hilbertschen Klassenkörpers, in dem alle Ideale (des Ganzheitsringes) eines algebraischen Zahlkörpers zu Hauptidealen werden.

Richard Dedekind erkannte, dass man diese idealen Zahlen vermeiden kann, indem man statt ihrer die Gesamtheit aller durch sie teilbaren Zahlen betrachtet. So haben die Zahlen 2 {\displaystyle 2} und 1 + − 5 {\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}} im Beispiel den gemeinsamen idealen Primfaktor 1 + i {\displaystyle 1+\mathrm {i} } , und die in Z [ − 5 ] {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} liegenden Vielfachen dieser Zahl sind gerade das Primideal ( 2 , 1 + − 5 ) = { a ⋅ 2 + b ⋅ ( 1 + − 5 ) ∣ a , b ∈ Z [ − 5 ] } . {\displaystyle \left(2,1+{\sqrt {-5}}\right)=\left\{a\cdot 2+b\cdot \left(1+{\sqrt {-5}}\right)\mid a,b\in \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]\right\}.}

Ist ein „realer“ gemeinsamer Faktor vorhanden, so besteht das Ideal gerade aus seinen Vielfachen, ist also ein Hauptideal. [2] In Ganzheitsringen von Zahlkörpern (und allgemeiner in der aufgrund dieser Tatsache nach ihm benannten Klasse der Dedekindringe) erhält man auf diese Weise eine eindeutige Zerlegung jedes Ideals (ungleich null) in Primideale. [3] Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

1: 0 ∈ I , {\displaystyle 0\in I,} 2: für alle a , b ∈ I {\displaystyle a,b\in I} ist a − b ∈ I {\displaystyle a-b\in I} ( Untergruppenkriterium), 3L: für jedes a ∈ I {\displaystyle a\in I} und r ∈ R {\displaystyle r\in R} ist r a ∈ I . {\displaystyle ra\in I.}

• Die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten, die durch x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} teilbar sind, bilden ein Ideal im Polynomring R [ X ] {\displaystyle \mathbb {R} [X]} . Der Körper R [ X ] / ( x 2 + 1 ) {\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left(x^{2}+1\right)} ist isomorph zu den komplexen Zahlen und ( x 2 + 1 ) {\displaystyle (x^{2}+1)} ist sogar Maximalideal.

• Der Ring C ( R ) {\displaystyle C(\mathbb {R} )} aller stetigen Funktionen von R {\displaystyle \mathbb {R} } nach R {\displaystyle \mathbb {R} } enthält das Ideal der Funktionen f {\displaystyle f} mit f ( 1 ) = 0 {\displaystyle f(1)=0} . Ein anderes Ideal in C ( R ) {\displaystyle C(\mathbb {R} )} sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger, d. h. alle Funktionen, die für hinreichend große Argumente gleich 0 sind.

• Die Mengen { 0 } {\displaystyle \{0\}} und R {\displaystyle R} sind stets Ideale eines Rings R {\displaystyle R} . Hierbei wird { 0 } {\displaystyle \{0\}} Nullideal und R {\displaystyle R} Einsideal genannt. [4] Wenn { 0 } {\displaystyle \{0\}} und R {\displaystyle R} seine einzigen zweiseitigen Ideale sind, nennt man R {\displaystyle R} einfach. Ein kommutativer einfacher Ring, der nicht der Nullring ist, ist ein Körper.

Ist R {\displaystyle R} ein kommutativer Ring mit Eins und I ⊆ R {\displaystyle I\subseteq R} ein Ideal, dann ist auch das Radikal I {\displaystyle {\sqrt {I}}} von I {\displaystyle I} , das als I := { x ∈ R ∣ ∃ r ∈ N : x r ∈ I } {\displaystyle {\sqrt {I}}:=\{x\in R\mid \exists r\in \mathbb {N} :x^{r}\in I\}} definiert ist, ein Ideal.

• Auch das sogenannte Komplexprodukt I J , {\displaystyle IJ,} das aus der Menge der Produkte von Elementen aus I {\displaystyle I} mit Elementen aus J {\displaystyle J} besteht, ist im Allgemeinen kein Ideal. Als Produkt von I {\displaystyle I} und J {\displaystyle J} wird daher das Ideal definiert, das von I J {\displaystyle IJ} erzeugt wird:

I ⋅ J := ( { a b ∣ a ∈ I , b ∈ J } ) = ( I J ) {\displaystyle I\cdot J:=\left(\left\{ab\mid a\in I,b\in J\right\}\right)=(IJ)} Besteht keine Verwechselungsgefahr mit dem Komplexprodukt, dann schreibt man auch das Idealprodukt I ⋅ J {\displaystyle I\cdot J} oder kurz I J . {\displaystyle IJ.}

• Das Produkt zweier Ideale ist stets in ihrem Schnitt enthalten: I ⋅ J ⊆ I ∩ J . {\displaystyle I\cdot J\subseteq I\cap J.} Sind I {\displaystyle I} und J {\displaystyle J} teilerfremd, also I + J = R {\displaystyle I+J=R} so gilt sogar Gleichheit.

Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann gezeigt werden, dass jedes echte Ideal eines Rings mit 1 {\displaystyle 1} in einem maximalen Ideal enthalten ist. Insbesondere besitzt jeder Ring mit 1 {\displaystyle 1} (außer dem Nullring) ein maximales Ideal.

Startet man umgekehrt mit einem zweiseitigen Ideal I {\displaystyle I} von R , {\displaystyle R,} dann kann man den Faktorring R / I {\displaystyle R/I} (sprich: „ R {\displaystyle R} modulo I {\displaystyle I} “; nicht zu verwechseln mit einem faktoriellen Ring) definieren, dessen Elemente die Form

Die extremen Beispiele von Faktorringen eines Ringes R {\displaystyle R} entstehen durch Herausteilen der Ideale ( 0 ) {\displaystyle (0)} oder R . {\displaystyle R.} Der Faktorring R / ( 0 ) {\displaystyle R/(0)} ist isomorph zu R , {\displaystyle R,} und R / R {\displaystyle R/R} ist der triviale Ring { 0 } . {\displaystyle \{0\}.} Norm eines Ideals [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten ]

Für Ganzheitsringe A {\displaystyle A} eines Zahlkörpers K {\displaystyle K} lässt sich eine Norm eines (ganzen) Ideals I {\displaystyle I} definieren durch N ( I ) := c a r d ( A / I ) ) {\displaystyle N(I):=\mathrm {card} (A/I))} (und für das Nullideal N ( ( 0 ) ) := 0 {\displaystyle N((0)):=0} ). Diese Norm ist immer eine endliche Zahl und steht in Zusammenhang mit der Norm der Körpererweiterung N K / Q , {\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} },} für Hauptideale ( a ) {\displaystyle (a)} gilt nämlich | N K / Q ( a ) | = N ( ( a ) ) . {\displaystyle |N_{K/\mathbb {Q} }(a)|=N((a)).} Zudem ist diese Norm multiplikativ, d. h. N ( I ⋅ J ) ) = N ( I ) N ( J ) {\displaystyle N(I\cdot J))=N(I)N(J)} . Allgemeiner werden diese Normen auch für Ideale in Ordnungen in Zahlkörpern betrachtet.

• ↑ Felix Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. Teil 1. Springer, Berlin 1926 ( Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 24, ISSN 0072-7830), Kapitel VII, Abschnitt Theorie der algebraischen ganzen Zahlen … S. 321 f.