Kontinuitätsgleichung – wikipedia electricity 101 powerpoint

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Die in einem Volumen V enthaltene „Ladung“ (das Volumenintegral über die Dichte) kann sich aufgrund der Kontinuitätsgleichung nur dadurch ändern, dass unausgeglichene Ströme aus der Oberfläche des Volumens hinausfließen. Demnach ändert sich die Gesamtladung für V → ∞ {\displaystyle V\to \infty } zeitlich nicht und ist eine gas 4 less redding ca Erhaltungsgröße, wenn keine (Netto-)Ströme durch die Oberfläche des betrachteten Volumens fließen.

ist wegen der Kontinuitätsgleichung nach dem Integralsatz von Gauß d Q V d t = ∭ V d 3 x ∂ ρ ∂ t = − ∭ V d 3 x ∇ → ⋅ j → = − ∮ ∂ V j → ⋅ n → d S , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q_{V}}{\mathrm {d} t}}=\iiint _{V}\mathrm {d} ^{3}x\,{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\iiint _{V}\!\mathrm {d} ^{3}x\,{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=-\oint _{\partial V}\,{\vec {j}}\;\cdot {\vec {n}}\,\mathrm {d} S\,,}

Verändert sich in der Hydrodynamik die Massendichte ρ ( t , x → ) {\displaystyle \rho (t,{\vec {x}})} , weil die Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit u → = d x → d t {\displaystyle {\vec {u}}={\tfrac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}} längs der Bahnkurven x → ( t ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)} strömt, so ist die zugehörige Stromdichte

∂ ρ ∂ t + ∇ → ⋅ ( ρ u → ) = 0 ⇔ ∂ ρ ∂ t + ∇ → ρ ⋅ u → + ρ ∇ → ⋅ u → = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {u}})=0\\\Leftrightarrow {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla eon replacement gas card }}\rho \cdot {\vec {u}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0\end{alignedat}}} (Begründung: Produktregel)

∂ ρ ∂ t + ∇ → ρ ⋅ d x → d t = − ρ ⋅ ∇ → ⋅ u → ⇔ d d t ρ ( t , x → ( t ) ) = − ρ ⋅ ∇ → ⋅ u → {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\rho \cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}}{\mathrm {d} t}}=-\rho \cdot {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}\\\Leftrightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho (t,{\vec {x}}(t))=-\rho \cdot {\vec {\nabla }}\cdot \,{\vec {u}}\end{alignedat}}} (Begründung: totales Differential).

In der Elektrodynamik ergibt sich die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladungsdichte ρ {\displaystyle \rho } und die elektrische Stromdichte j → {\displaystyle {\vec {j}}} mithilfe der Identität ∇ → ⋅ ∇ → × ⋯ = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}\times \dots =0} und den beiden inhomogenen Maxwellgleichungen 0 = div ⁡ rot ⁡ = 0 ∇ → ⋅ ( ∇ → × H → ) = Maxwell ∇ → ⋅ ( ∂ ∂ t D → + j → ) = ∂ ∂ t ∇ → ⋅ D → + ∇ → ⋅ j → = ∂ ρ ∂ t + ∇ → ⋅ j → , {\displaystyle 0\ \ {\stackrel {\operatorname {div} \ \operatorname {rot} \ =\ 0}{=}}\ \ {\vec {\nabla }}\cdot \left({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}\right)\ \ {\stackrel {\text{Maxwell}}{=}}\ \ {\vec {\nabla }}\cdot \left({\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {D}}+{\vec {j}}\right)={\frac gaz 67 sprzedam {\partial }{\partial t}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}\ ,}

Die Kontinuitätsgleichung für die Energie im elektromagnetischen Feld ist dort erfüllt, wo die elektrische Stromdichte j → {\displaystyle {\vec {j}}} verschwindet, beispielsweise im Vakuum. Dort kann sich Energiedichte nur durch Energieströme ändern. Wo die elektrische Stromdichte j → {\displaystyle youtube gas pedal lyrics {\vec {j}}} nicht verschwindet, leistet das elektrische Feld E → {\displaystyle {\vec {E}}} Arbeit und tauscht Energie mit den Ladungsträgern aus.

In der relativistischen Formulierung der Elektrodynamik mit Minkowski-Vektoren fasst man cρ und j zu einem Vierervektor zusammen ( j α ) = ( c ρ , j x , j y , j z ) , {\displaystyle (j^{\alpha })=(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z})\,,} . Wie oben, folgt aus den Maxwellgleichungen, dass dessen Viererdivergenz verschwindet ∂ α j α = c ∂ ρ c ∂ t + ∂ j x ∂ x + ∂ j y ∂ y + ∂ j z ∂ z = 0 . {\displaystyle \partial _{\alpha }j^{\alpha }={\frac {c\partial \rho }{c\partial t}}+{\frac {\partial j_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial j_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial j_{z}}{\partial z}}=0\,.} [2] Diese Formulierung ist unabhängig von der gewählten Minkowski-Signatur, äquivalent zur Kontinuitätsgleichung und kann auf relativistische Feldtheorien verallgemeinert werden.

gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, ein Teilchen zur Zeit t {\displaystyle t} am Ort x → {\displaystyle {\vec {x}}} vorzufinden. Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstromdichte j → = − i ℏ 2 m ( Ψ ∗ ∇ → Ψ − Ψ ∇ → Ψ ∗ ) {\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\Psi ^{*}{\vec {\nabla }}\Psi -\Psi {\vec {\nabla }}\Psi ^{*})}

j → = − i ℏ 2 m ( Ψ † ∇ → Ψ − ( ∇ → Ψ † ) Ψ ) − q m A → Ψ † Ψ + ℏ 2 m ∇ → × ( Ψ † σ → Ψ ) {\displaystyle {\vec {j}}=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\Psi ^{\dagger }{\vec {\nabla }}\Psi -({\vec electricity experiments for high school {\nabla }}\Psi ^{\dagger })\Psi )-{\frac {q}{m}}{\vec {A}}\Psi ^{\dagger }\Psi +{\frac {\hbar }{2m}}{\vec {\nabla }}\times (\Psi ^{\dagger }{\vec {\sigma }}\Psi )}

Im Rahmen der Klein-Gordon-Kontinuitätsgleichung kann – im Gegensatz zum nichtrelativistischen oder fermionen Fall – die Größe j 0 = 1 c i ( ϕ ∗ ∂ t ϕ − ϕ ∂ t ϕ ∗ ) {\displaystyle j^{0}={\frac {1}{c}}\mathrm {i} \left(\phi ^{*}\partial _{t}\phi -\phi \partial _{t}\phi ^{*}\right)} nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte gedeutet werden, da diese Größe nicht positiv semidefinit ist.

Thermodynamik wichtigen Wärmestrom angeben. Die „Ladungsdichte“ muss bei Integration über den Gesamtraum eine Erhaltungsgröße ergeben, z. B. die elektrische Gesamtladung, bzw. – im Falle der gas national average 2009 Quantenmechanik – die Gesamtwahrscheinlichkeit, 1, oder im dritten Fall, die gesamte zugeführte Wärme, bei Systemen, deren Wärmeinhalt als „erhalten“ angesehen werden kann (z. B. Wärmediffusion).