Legge di ampère – wikipedia e payment electricity bill up

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La legge di Ampère può essere espressa sia in termini del campo magnetico nel vuoto B {\displaystyle \mathbf {B} } , sia in termini del campo magnetico nei materiali H {\displaystyle \mathbf {H} } . Nel secondo caso gli effetti di polarizzazione magnetica sono compresi nella definizione di H = B / μ 0 − M {\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {B} /\mu _{0}-\mathbf {M} } , e la corrente che genera il campo è composta dalle sole correnti "libere", mentre nel primo caso si deve tenere conto esplicitamente anche delle correnti di polarizzazione. [4] [5]

La legge afferma che l’ integrale lungo una linea chiusa ∂ S {\displaystyle \partial S} del campo magnetico B {\displaystyle \mathbf {B} } è uguale alla somma algebrica delle correnti elettriche I i {\displaystyle I_{i}} concatenate a ∂ S {\displaystyle \partial S} moltiplicata per la costante di permeabilità magnetica del vuoto μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} : [2] ∮ ∂ S ⁡ B ⋅ d r = μ 0 ∑ i I i = μ 0 I {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\mu _{0}\sum _{i}I_{i}=\mu _{0}I}

Le correnti concatenate devono essere prese col segno positivo o negativo a seconda che vedano circolare intorno a sé la linea rispettivamente in senso antiorario o orario. Se la concatenazione di una corrente è multipla, la somma dovrà considerare ogni concatenazione.

Poiché la corrente netta che passa attraverso le superfici S {\displaystyle S} delimitate dalla curva chiusa ∂ S {\displaystyle \partial S} è il flusso di una densità di corrente elettrica J = ρ v {\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} } , in cui v {\displaystyle \mathbf {v} } è la velocità delle cariche che compongono la corrente e ρ {\displaystyle \rho } la loro densità volumica, la legge di Ampère si scrive:

∮ ∂ S ⁡ B ⋅ d r = μ 0 ∫ S J ⋅ d S = μ 0 I ∮ ∂ S ⁡ H ⋅ d r = ∫ S J ′ ⋅ d S = I ′ {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\mu _{0}\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I\qquad \oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{S}\mathbf {J} ‘\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =I’}

La relazione sancisce il legame tra le correnti elettriche e il campo magnetico da esse prodotto nel caso stazionario. Il fatto che tale integrale non sia nullo significa, per definizione, che il campo magnetico non è un campo conservativo, a differenza del campo elettrostatico o del campo gravitazionale.

∮ ∂ S ⁡ H ⋅ d r = ∫ S ∇ × H ⋅ d S = ∫ S J ⋅ d S {\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }

La relazione ∇ × B = μ 0 J {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} } vale solamente nel caso stazionario, come si mostra applicando la divergenza a entrambi i membri. Per il primo si ha ∇ ⋅ ( ∇ × B ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0} , e quindi si deve verificare che anche ∇ ⋅ J {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} } sia nulla. Tuttavia l’ equazione di continuità per la corrente elettrica: [6] ∇ ⋅ J = − ∂ ρ ∂ t {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}

Inserendo la densità di corrente generalizzata così ottenuta nella legge di Ampère: [8] [9] ∇ × B = μ 0 ( J + ε 0 ∂ E ∂ t ) {\displaystyle \mathbf {\nabla \times B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)}

In questo modo è anche verificata la proprietà per la quale la divergenza del rotore di qualsiasi campo vettoriale derivabile due volte è sempre nulla, in accordo con quanto afferma il teorema del flusso per il campo magnetico. L’equazione di Maxwell risulta essere in questo modo più generale, in quanto tiene in considerazione non solo la corrente elettrica come sorgente del campo magnetico, rappresentata dalla densità di corrente J {\displaystyle \mathbf {J} } , ma anche la variazione del campo elettrico nel tempo, rappresentata dal termine contenente la derivata del campo elettrico rispetto al tempo.