Moto armonico – wikipedia la gastronomie

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con una accelerazione di richiamo a x = d 2 x / d t 2 {\displaystyle a_{x}=d^{2}x/dt^{2}} proporzionale allo spostamento subito x {\displaystyle x} . La costante di proporzionalità è sempre negativa e si può quindi intendere, come qualsiasi numero reale negativo, come l’opposto di un quadrato di un altro numero costante ω {\displaystyle \omega } , detto pulsazione, così indicato in quanto dimensionalmente simile alla velocità angolare. Quindi l’ equazione del moto di un oscillatore armonico è:

Se F H {\displaystyle F_{H}} è la sola forza agente, il sistema è detto oscillatore armonico semplice (o naturale) con equazione del moto pari a quella succitata: il moto armonico semplice presenta oscillazioni sinusoidali attorno al punto di equilibrio, con ampiezza e frequenza (detta naturale) costante.

Esempi meccanici di oscillatori armonici semplici sono il pendolo semplice (per piccoli angoli di oscillazione) ed una massa attaccata ad una molla. Analoghi sistemi fuori dalla meccanica includono i sistemi acustici vibranti, e gli oscillatori armonici elettrici tra cui i circuiti RLC.

Il moto armonico libero semplice è detto anche moto armonico naturale: esso è una oscillazione sinusoidale con pulsazione ω {\displaystyle \omega } . Tale moto è periodico. La posizione di un corpo che oscilla secondo il moto armonico semplice, con l’origine del sistema di riferimento posizionata nel punto attorno al quale avviene l’oscillazione, può essere descritto attraverso una funzione sinusoidale di ampiezza e fase costanti: [1] x ( t ) = A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) {\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t+\phi \right)} (legge oraria per moto unidimensionale lungo l’asse x {\displaystyle x} )

Il periodo dell’oscillazione è T = 2 π ω {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}} (ovvero l’intervallo di tempo tra due oscillazioni), [2] mentre A {\displaystyle A} e ϕ {\displaystyle \phi } sono rispettivamente l’ampiezza dell’oscillazione e la costante di fase (che dipendono dalla posizione x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} e velocità iniziale v x ( 0 ) {\displaystyle v_{x}(0)} del moto).

La velocità e l’ accelerazione sono rispettivamente la derivata prima e seconda della legge oraria, ovvero: [2] v x ( t ) = − ω A sin ⁡ ( ω t + ϕ ) = ω A cos ⁡ ( ω t + ϕ + π 2 ) {\displaystyle v_{x}(t)=-\omega A\sin \left(\omega t+\phi \right)=\omega A\cos \left(\omega t+\phi +{\frac {\pi }{2}}\right)} (derivata prima della legge oraria) a x ( t ) = − ω 2 A cos ⁡ ( ω t + ϕ ) = ω 2 A cos ⁡ ( ω t + ϕ + π ) {\displaystyle a_{x}(t)=-\omega ^{2}A\cos \left(\omega t+\phi \right)=\omega ^{2}A\cos(\omega t+\phi +\pi )} (derivata seconda della legge oraria)

K ( t ) = 1 2 m v x ( t ) 2 = 1 2 m ω 2 A 2 sin 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ ( ω t + ϕ ) , {\displaystyle K(t)={\frac {1}{2}}mv_{x}(t)^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi ),}

{ x = − a x ω 2 y = − a y ω 2 ⇒ { x 2 = a x 2 ω 4 y 2 = a y 2 ω 4 ⇒ r 2 = x 2 + y 2 = a x 2 + a y 2 ω 4 = a 2 ω 4 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=-{\frac {a_{x}}{\omega ^{2}}}\\\quad \\y=-{\frac {a_{y}}{\omega ^{2}}}\end{array}}\right.\Rightarrow \left\{{\begin{array}{l}x^{2}={\frac {a_{x}^{2}}{\omega ^{4}}}\\\quad \\y^{2}={\frac {a_{y}^{2}}{\omega ^{4}}}\end{array}}\right.\Rightarrow r^{2}=x^{2}+y^{2}={\frac {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}{\omega ^{4}}}={\frac {a^{2}}{\omega ^{4}}}}

Un’analoga dimostrazione che qui non presentiamo può essere fatta per generalizzare questo moto a tre dimensioni componendolo con tre moti armonici semplici sugli assi cartesiani dello spazio tridimensionale, e rendendo diversa tra loro l’ ampiezza, col risultato di un moto ellittico.

A 1 = v 0 + x 0 | λ 1 | | λ 1 | − | λ 2 | {\displaystyle A_{1}={v_{0}+x_{0}|\lambda _{1}| \over |\lambda _{1}|-|\lambda _{2}|}} A 2 = − x 0 | λ 2 | − v 0 | λ 1 | − | λ 2 | {\displaystyle A_{2}={-x_{0}|\lambda _{2}|-v_{0} \over |\lambda _{1}|-|\lambda _{2}|}}

Il moto armonico forzato semplice è detto anche moto armonico risonante. Si vuole ora dimostrare come una accelerazione con variazione temporale sinusoidale a F = a F 0 cos ⁡ ( ω F t ) {\displaystyle ~a_{F}=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)} provochi un’oscillazione forzata. L’ equazione del moto è quindi:

x ¨ = a F + a H = a F 0 cos ⁡ ( ω F t ) − ω N 2 x → x ¨ + ω N 2 x = a F 0 cos ⁡ ( ω F t ) {\displaystyle {\ddot {x}}=a_{F}+a_{H}=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)-\omega _{N}^{2}x\quad \rightarrow \quad {\ddot {x}}+\omega _{N}^{2}x=a_{F0}\cos(\omega _{F}t)}

All’inizio il corpo mantiene la sua frequenza naturale di oscillazione ω N {\displaystyle \omega _{N}} , ma viene progressivamente costretto a seguire la frequenza ω F {\displaystyle \omega _{F}} imposta dalla forza esterna, e acquisisce quindi al ciclo limite ampiezza e legge oraria:

δ = arctan ⁡ ( ω S ω F ω N 2 − ω F 2 ) {\displaystyle \delta =\arctan \left({\omega _{S}\omega _{F} \over \omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2}}\right)} B = a 0 ( ω N 2 − ω F 2 ) 2 + ω S 2 ω F 2 {\displaystyle B={a_{0} \over {\sqrt {(\omega _{N}^{2}-\omega _{F}^{2})^{2}+\omega _{S}^{2}\omega _{F}^{2}}}}}

Si osservi che il moto totale è la somma dei due moti trattati precedentemente: uno oscillante smorzato con una certa pulsazione ω S {\displaystyle \omega _{S}} ed uno forzato di ampiezza B {\displaystyle B} e pulsazione ω F {\displaystyle \omega _{F}} .

Il sistema ha dunque un transiente oscillante iniziale che svanisce esponenzialmente col tempo, lasciando il posto ad un’oscillazione pura ad ampiezza costante; questa oscillazione è determinata essenzialmente dalla forza esterna, e presenta uno sfasamento con essa. Se la resistenza viscosa ω S {\displaystyle \omega _{S}} diventa sempre più piccola, l’ampiezza massima B m a x {\displaystyle B_{max}} aumenta sempre di più (tendendo all’infinito per ω S {\displaystyle \omega _{S}} che tende a zero). Si parla allora di sfasamento.

La curva di sfasamento a destra (la curva della funzione δ ( ω f ) {\displaystyle \delta \left(\omega _{f}\right)} ) mostra che elongazione e accelerazione non sono mai in fase tranne nel caso degenere in cui ω F = 0 {\displaystyle \omega _{F}=0} cioè di moto armonico smorzato). Per ω F = ω N {\displaystyle \omega _{F}=\omega _{N}} (in risonanza), l’elongazione si dice in quadratura di fase con la forza esterna.

Gli oscillatori armonici si manifestano in una vastità di aree fisiche: qui presentiamo una tavola che mostra le analogie tra quantità proprie di quattro oscillatori armonici meccanici ed elettronici. Perciò se presentano grandezze corrispondenti uguali allora uguali saranno anche i loro comportamenti, cioè frequenza risonante, fattore di smorzamento, ecc.