Moto parabolico – wikipedia gas under a dollar

Ipotizzando che il corpo si trovi in prossimità della terra, è possibile considerare la funzione a ( t ) {\displaystyle \mathbf {a} (t)} come costante, con valore pari a − g {\displaystyle -\mathbf {g} } diretta lungo la perpendicolare al terreno (asse y), per cui si ha:

y x = tan ⁡ θ − g t 2 v 0 cos ⁡ θ = tan ⁡ θ − g 2 v 0 cos ⁡ θ ⋅ x v 0 cos ⁡ θ {\displaystyle {\frac {y}{x}}=\tan {\theta }-{\frac {gt}{2v_{0}\cos {\theta }}}=\tan {\theta }-{\frac {g}{2v_{0}\cos {\theta }}}\cdot {\frac {x}{v_{0}\cos {\theta }}}}

che rappresenta una parabola con concavità rivolta verso il basso, il cui grafico è rappresentato in figura. Inoltre se la posizione del lancio del corpo non si trova nell’origine, quindi ad esempio nel punto P = ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P=(x_{0},y_{0})} si può approssimare la curva con una traslazione degli assi paralleli agli assi cartesiani con origine in P {\displaystyle P} (l’approssimazione è dovuta al fatto che stiamo considerando il corpo in prossimità della terra, ergo g è costante)

Se consideriamo la traiettoria espressa in un piano cartesiano Oxy, per calcolare la gittata possiamo utilizzare l’equazione della traiettoria vista sopra. In relazione alla curva che forma la traiettoria del corpo (e quindi una parabola) per poter calcolare la gittata occorrono i punti di intersezione della curva con l’asse delle ascisse y = 0 {\displaystyle y=0} , che nel caso in cui il punto di lancio del corpo sia l’origine degli assi sono:

x tan ⁡ θ − g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ ⋅ x 2 = 0 → x ⋅ ( tan ⁡ θ − g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ θ ⋅ x ) = 0 {\displaystyle x\tan \theta -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}=0\quad \to \quad x\cdot \left(\tan \theta -{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x\right)=0}

Come si può notare si ottengono due soluzioni, questo perché essendo la traiettoria una parabola ha due punti di intersezione con l’asse orizzontale. Nel caso in cui il punto di lancio non è l’origine allora per calcolare la gittata occorre considerare il punto di intersezione relativo alla velocità orizzontale. La scelta può essere fatta considerando il vertice o punto di altezza massima della traiettoria. Infatti abbiamo un punto di intersezione che si trova prima di esso e uno dopo di esso rispetto all’asse orizzontale. Se la velocità orizzontale risulta essere negativa allora va preso il punto che si trova prima, se la velocità è positiva va preso il punto che si trova dopo. Studiamo il caso in cui il punto di lancio sia nell’origine, quindi il punto di intersezione prima del vertice è l’origine; La velocità non può essere negativa altrimenti praticamente non si avrebbe alcun movimento (il punto si trova già al suolo, e se l’angolo di lancio è acuto allora non può esserci movimento), pertanto il punto di intersezione da considerare è quello dopo il vertice (essendo la velocità positiva) che è

Trovato il punto di intersezione nel caso generale la gittata è il modulo della differenza tra l’ascisse del punto di intersezione scelto secondo il criterio visto e l’ascisse del punto di lancio. Nel caso studiato è semplicemente il risultato stesso.

Siccome il moto parabolico è simmetrico rispetto all’asse passante per il vertice e parallelo all’asse y ( proprietà della parabola), l’ascissa del punto di atterraggio è due volte l’ascissa del vertice della parabola, ovvero il doppio dell’ascissa del punto di massima altezza. Tale ascissa è dunque:

Gli stessi risultati si ottengono considerando il fatto che il punto di altezza massima è un punto di massimo della curva della traiettoria e quindi il punto di massimo della parabola. Trovarlo quindi consiste nel porre la derivata prima dell’equazione della traiettoria uguale a zero e ricavare dall’equazione ottenuta l’ascissa del punto cercato x {\displaystyle x} (Che sarebbe la gittata) sostituendo nell’equazione della traiettoria si ottiene anche l’ordinata y M {\displaystyle y_{M}} .

Quanto studiato sopra è una situazione semplificata in quanto, nella realtà, i corpi risentono dell’attrito dell’aria, che agisce opponendosi al moto. La principale conseguenza che ha sul moto questa forza è che la gittata e il tempo di volo diminuiscono.