Numero intero – wikipedia static electricity definition physics

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Come i numeri naturali, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e di moltiplicazione, cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l’inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all’operazione di sottrazione: se a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} sono interi, anche a − b {\displaystyle a-b} lo è. Tuttavia, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } non è chiuso sotto l’operazione di divisione, poiché il quoziente di due interi (per esempio 1 / 2 {\displaystyle 1/2} ) non è necessariamente un numero intero.

Nel linguaggio dell’ algebra astratta, le prime cinque proprietà elencate sopra per l’addizione dicono che Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è un gruppo abeliano con l’operazione somma. In particolare, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è un gruppo ciclico, poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte 1 + 1 + … + 1 {\displaystyle 1+1+\ldots +1} oppure ( − 1 ) + ( − 1 ) + … + ( − 1 ) {\displaystyle (-1)+(-1)+\ldots +(-1)} . Il gruppo Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è l’ unico gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è isomorfo a Z {\displaystyle \mathbb {Z} } .

Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che Z {\displaystyle \mathbb {Z} } con l’operazione prodotto forma un monoide commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno in inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero x {\displaystyle x} tale che 2 x = 1 {\displaystyle 2x=1} . Quindi Z {\displaystyle \mathbb {Z} } non è un gruppo se considerato con l’operazione prodotto.

Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che Z {\displaystyle \mathbb {Z} } con l’addizione e la moltiplicazione è un anello commutativo con unità. In effetti Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell’inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che Z {\displaystyle \mathbb {Z} } non è un campo.

L’anello Z {\displaystyle \mathbb {Z} } è inoltre un dominio d’integrità, perché non contiene divisori dello zero. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dei numeri razionali.

Anche se la divisione ordinaria non è definita su Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , è possibile usare l’ algoritmo di Euclide per effettuare una divisione con resto: dati due interi a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} con b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} , esistono e sono unici due interi q {\displaystyle q} e r {\displaystyle r} tali che

g ( x ) = { 2 | x | , se x 0 {\displaystyle c>0} , allora a c n {\displaystyle m>n} , se esiste un numero naturale p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} tale che m = n + p {\displaystyle m=n+p} . L’insieme Z {\displaystyle \mathbb {Z} } può essere definito a partire dall’insieme N {\displaystyle \mathbb {N} } dei numeri naturali tramite il concetto di insieme quoziente. Si consideri il prodotto cartesiano N 2 = N × N {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N} } , ovvero l’insieme di tutte le coppie ordinate di numeri naturali ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Si consideri la seguente relazione ∼ {\displaystyle \sim } ( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) ⇔ a + b ′ = a ′ + b . {\displaystyle (a,b)\sim (a’,b’)\Leftrightarrow a+b’=a’+b.}

• simmetrica: se ( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a,b)\sim (a’,b’)} con a + b ′ = a ′ + b {\displaystyle a+b’=a’+b} , allora a ′ + b = a + b ′ {\displaystyle a’+b=a+b’} e quindi ( a ′ , b ′ ) ∼ ( a , b ) {\displaystyle (a’,b’)\sim (a,b)}

a + b ′ = a ′ + b {\displaystyle a+b’=a’+b} , a ′ + b ″ = a ″ + b ′ {\displaystyle a’+b”=a”+b’} , sommando a + b ′ + a ′ + b ″ = a ′ + b + a ″ + b ′ {\displaystyle a+b’+a’+b”=a’+b+a”+b’} , semplificando a + b ″ = a ″ + b {\displaystyle a+b”=a”+b} , quindi ( a , b ) ∼ ( a ″ , b ″ ) {\displaystyle (a,b)\sim (a”,b”)}

A questo punto è facile dimostrare che ogni classe di equivalenza [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} contiene uno e un solo elemento nella forma ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a’,b’)} con a ′ = 0 {\displaystyle a’=0} oppure b ′ = 0 {\displaystyle b’=0} . In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:

Si dimostra facilmente che esiste un isomorfismo tra l’insieme dei numeri naturali e il sottoinsieme di Z {\displaystyle \mathbb {Z} } costituito dagli elementi del tipo [ ( a , 0 ) ] {\displaystyle [(a,0)]} . In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.

( n 1 , n 2 ) + ( m 1 , m 2 ) = ( n 1 + m 1 , n 2 + m 2 ) {\displaystyle (n_{1},n_{2})+(m_{1},m_{2})=(n_{1}+m_{1},n_{2}+m_{2})} ( n 1 , n 2 ) × ( m 1 , m 2 ) = ( n 1 m 1 + n 2 m 2 , n 1 m 2 + m 1 n 2 ) {\displaystyle (n_{1},n_{2})\times (m_{1},m_{2})=(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2},n_{1}m_{2}+m_{1}n_{2})}

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