Teorema de los tres momentos – wikipedia, la enciclopedia libre electricity 4th grade powerpoint

( 1) M k − 1 L k + 2 M k ( L k + L k + 1 ) + M k + 1 L k + 1 = − 6 ( Ω k D k L k + Ω k + 1 d k + 1 L k + 1 ) {\displaystyle M_{k-1}L_{k}+2M_{k}(L_{k}+L_{k+1})+M_{k+1}L_{k+1}=-6\left({\frac {\Omega _{k}D_{k}}{L_{k}}}+{\frac {\Omega _{k+1}d_{k+1}}{L_{k+1}}}\right)}

Donde M k {\displaystyle M_{k}\,} , momento flector en el apoyo central, apoyo k-ésimo. M k − 1 {\displaystyle M_{k-1}\,} , momento flector en el apoyo a la izquierda, apoyo ( k-1)-ésimo. M k + 1 {\displaystyle M_{k+1}\,} , momento flector en el apoyo a la derecha, apoyo ( k+1)-ésimo. L k {\displaystyle L_{k}\,} longitud del tramo de viga entre el apoyo ( k-1)-ésimo y el apoyo k-ésimo L k + 1 {\displaystyle L_{k+1}\,} longitud del tramo de viga entre el apoyo k-ésimo y el apoyo ( k+1)-ésimo. Ω k , Ω k + 1 {\displaystyle \Omega _{k},\Omega _{k+1}\,} , área de los momentos flectores isostáticos en los tramos L k {\displaystyle L_{k}\,} y L k + 1 {\displaystyle L_{k+1}\,} :

( 2) Ω k = ∫ 0 L k M i s o ( k ) ( x ) d x , Ω k + 1 = ∫ 0 L k + 1 M i s o ( k + 1 ) ( x ) d x {\displaystyle \Omega _{k}=\int _{0}^{L_{k}}{\mathcal {M}}_{iso}^{(k)}(x)dx,\qquad \qquad \Omega _{k+1}=\int _{0}^{L_{k+1}}{\mathcal {M}}_{iso}^{(k+1)}(x)dx} D k , d k {\displaystyle D_{k},d_{k}\,} son las distancias a los centroides de los diagramas de momentos flectores por la derecha y por la izquierda, el producto de estos por las áreas respectivas se puede calcular como:

( 3) D k = 1 Ω k ∫ 0 L k x M i s o ( k ) ( x ) d x , d k = 1 Ω k + 1 ∫ 0 L k + 1 ( L k + 1 − x ) M i s o ( k + 1 ) ( x ) d x {\displaystyle D_{k}={\frac {1}{\Omega _{k}}}\int _{0}^{L_{k}}x{\mathcal {M}}_{iso}^{(k)}(x)dx,\qquad \qquad d_{k}={\frac {1}{\Omega _{k+1}}}\int _{0}^{L_{k+1}}(L_{k+1}-x){\mathcal {M}}_{iso}^{(k+1)}(x)dx} Casos particulares [ editar ] Carga continua y uniforme [ editar ]

M k − 1 L k + 2 M k ( L k + L k + 1 ) + M k + 1 L k + 1 = − ( q L k 3 4 + q L k + 1 3 4 ) {\displaystyle M_{k-1}L_{k}+2M_{k}(L_{k}+L_{k+1})+M_{k+1}L_{k+1}=-\left({\frac {qL_{k}^{3}}{4}}+{\frac {qL_{k+1}^{3}}{4}}\right)} Cálculo de áreas y distancias [ editar ]

Las fórmulas integrales ( 2) y ( 3) no resultan cómodas en el caso general, sin embargo, para los casos más frecuentes de carga es posible calcular el área del diagrama de momentos isostáticos de cada tramo, y los centros de gravedad de estas áreas. Para un tramo de longitud L las magnitudes anteriores son: Fórmulas para el área y los centros de gravedad Tipo de carga

El teorema de los dos momentos es similar pero relaciona el momento flector en dos apoyos consecutivos pero requiere que uno de ellos sea un empotramiento. Si se tiene un empotramiento a la izquierda y otro apoyo simple a la derecha, el teorema de los dos momentos establece que la relación entre ambos es:

( 5) R k = ( M k − 1 − M k L k + R i s o ( k ) + ) ⏞ i z q u i e r d a ( V k − ) + ( M k + 1 − M k L k + 1 + R i s o ( k + 1 ) − ) ⏞ d e r e c h a ( V k + ) {\displaystyle R_{k}=\overbrace {\left({\frac {M_{k-1}-M_{k}}{L_{k}}}+{\mathcal {R}}_{iso}^{(k)+}\right)} ^{izquierda(V_{k}^{-})}+\overbrace {\left({\frac {M_{k+1}-M_{k}}{L_{k+1}}}+{\mathcal {R}}_{iso}^{(k+1)-}\right)} ^{derecha(V_{k}^{+})}}

Donde alguno de los términos anteriores debe tomarse igual a cero en el caso de los apoyos extremos por ser inexistente. Y donde: R ( i s o ) ( k ) − {\displaystyle {\mathcal {R}}_{(iso)}^{(k)-}} , es la reacción isostática en el apoyo de la izquierda del k-ésimo vano, R ( i s o ) ( k ) + {\displaystyle {\mathcal {R}}_{(iso)}^{(k)+}} , es la reacción isostática en el apoyo de la derecha del k-ésimo vano.

R i s o ( k ) − = ( d M i s o ( k ) d x ) x = 0 , R i s o ( k ) + = ( d M i s o ( k + 1 ) d x ) x = L k + 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}_{iso}^{(k)-}=\left({\frac {d{\mathcal {M}}_{iso}^{(k)}}{dx}}\right)_{x=0},\qquad {\mathcal {R}}_{iso}^{(k)+}=\left({\frac {d{\mathcal {M}}_{iso}^{(k+1)}}{dx}}\right)_{x=L_{k+1}}} Ejemplos [ editar ] Carga continua en dos vanos [ editar ]